数据结构——二叉树
1.树概念及树结构
1.1树概念及简单的应用
树是一种非线性结构，是由n（n>0）个有限节点组成的一个有层次的关系的集合。笔者认为，其称为树只是因为其造型形似一棵倒挂的数，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
根节点：没有前驱节点的节点，即没有父节点的节点
除了根节点以外，其余部分被分为与树形态相似的子树，每棵子树的根节点有且仅有唯一的前驱节点，他的子节点可以为0个或若干个。
因此，树是递归定义的。
下面我们来从生活中引入树的结构图，来帮助大家更好的理解这种树结构
叶节点：上述没有子节点的节点称为叶节点
再举一个网页上的结构图帮助理解
那么什么样的树不是我们定义中的树呢？
子树之间相交的不称为树结构
到这里，我们大概树立了树的一般概念，还有一些其他的关于树的概念，笔者不再赘述，读者自行参考。
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：html的为2
叶节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：a为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：h2节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：h2是a的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：a是h2的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：h1、h2是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为2
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：li、a互为堂兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：html是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是html的子孙
森林：由m棵互不相交的树的集合称为森林；
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1.2树的表示
树相较于线性表，链表等结构相对复杂，现实中存储树的方法有多种，比如双亲表示法，孩子表示法，孩子兄弟表示法。最为常见的是孩子兄弟表示法，笔者也将用这种方式介绍树的结构。
2.二叉树
下面我们来介绍二叉树
2.1初识二叉树
二叉树：顾名思义，每个节点有且只有两个子节点，也就是说每个节点的度不大于2，或者说一个二叉树由一个左子树，一个右子树和一个根节点构成。
下图是一个二叉树的示例
2.2特殊二叉树
除了这种普通的二叉树，我们还有两种特殊的二叉树，称为满二叉树和完全二叉树。
满二叉树：基于普通的二叉树，每一个节点都有唯一的父节点和两个子节点（子节点不为空），每一层的节点树都到达最大值，我们就称之为满二叉树。
下图为满二叉树的示例：
另一种特殊的二叉树，我们称之为完全二叉树
完全二叉树： 若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
简而言之，就是满二叉树在最后一层删除一部分靠右的节点，所以说满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3二叉树的存储结构
二叉树的存储结构有两种，分别是链式存储和顺序存储结构。
2.3.1树的存储结构
顺序结构：顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
堆是一个用数组存放的一个完全二叉树，树上的每一个结点对应数组中的一个元素。 堆序只是局部有序：小顶堆对应的完全二叉树中所有内部结点的值均不大于其左右孩子的值；大顶堆则相反。
2.3.2链式结构
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTData _data; // 当前节点值域
}
2.4完全二叉树的计算
tips：普通二叉树并不适合用数组来存储，因为这样会造成大量的内存资源浪费，而完全二叉树就很适合了
3.二叉树的链式结构
3.1 二叉树的链式结构的遍历
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问 题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
分为四种遍历方式：层序遍历，前序遍历，中序遍历，后序遍历
层序遍历：顾名思义，一层一层遍历二叉树，从根节点开始，如上图所示，层序遍历的结果是
10 6 18 4 8 15 21
先序（前序）遍历口诀：根 左 右，先从根开始递归左子树，再递归右子树，这样说是不是不大理解，下面笔者附上一张图以帮助读者记忆。可以看成从根开始，逆时针转转一圈，依次读出。
结果为 10 6 4 8 18 15 21
中序遍历口诀：左 根 右，就是依次先递归遍历左子树，再到根，最后遍历右子树，简单记忆方法：
依次将每个节点投影到最下方，依次读出即可
结果是 4 6 5 10 15 18 21
后序遍历口诀 左 右 根，一样是先递归遍历左子树，再递归遍历右子树
简单记忆方法：仍然是先逆时针遍历一次，再找到左子树的最小单位子树，一次取下左右和根节点即可
后序遍历结果为 4 8 6 15 21 18 10
由此我们可以知道前序遍历第一个节点为根节点，后序遍历最后一个节点为根节点，前者任意一个顺序加上中序遍历即可还原出完整的二叉树。
下面附上python实现的代码
class BinaryTree:
def __init__(self,rootObj):
self.key = rootObj
self.leftChild = None
self.rightChild = None
def insertLeft(self,newNode):
if self.leftChild == None:
self.leftChild = BinaryTree(newNode)
else:
t = BinaryTree(newNode)
t.leftChild = self.leftChild
self.leftChild = t
def insertRight(self,newNode):
if self.rightChild == None:
self.rightChild = BinaryTree(newNode)
else:
t = BinaryTree(newNode)
t.rightChild = self.rightChild
self.rightChild = t
def getRightChild(self):
return self.rightChild
def getLeftChild(self):
return self.leftChild
def setRootVal(self, obj):
self.key = obj
def getRootVal(self):
return self.key
def preorder(tree):#前序
if tree != None:
print(tree.getRootVal(), end=' ')
preorder(tree.getLeftChild())
preorder(tree.getRightChild())
def postorder(tree):#中序
if tree != None:
postorder(tree.getLeftChild())
postorder(tree.getRightChild())
print(tree.getRootVal(), end=' ')
def inorder(tree):#后序
if tree != None:
inorder(tree.getLeftChild())
print(tree.getRootVal(), end=' ')
inorder(tree.getRightChild())C语言实现的代码会在最近更新，未完待续..............