python经典百题之最大公约数与最小公倍数

题目：输入两个正整数m和n，求其最大公约数和最小公倍数。

方法1: 辗转相除法（欧几里德算法）求最大公约数

def gcd_euclidean(m, n):
    while n:
        m, n = n, m % n
    return m

m = 36
n = 48
gcd_result = gcd_euclidean(m, n)
print("GCD:", gcd_result)

# 计算最小公倍数公式: LCM = m * n / GCD
lcm_result = (m * n) // gcd_result
print("LCM:", lcm_result)

思路：

• 使用辗转相除法（欧几里德算法），不断地用较小数去除较大数，直到余数为0。最终的除数就是最大公约数。

优点：

• 算法简单、高效，适用于大整数。

缺点：

• 除法运算可能会引入浮点数运算误差，需要注意。

方法2: 更相减损术求最大公约数

def gcd_subtraction(m, n):
    if m == n:
        return m
    elif m > n:
        return gcd_subtraction(m - n, n)
    else:
        return gcd_subtraction(m, n - m)

m = 36
n = 48
gcd_result = gcd_subtraction(m, n)
print("GCD:", gcd_result)

# 计算最小公倍数公式: LCM = m * n / GCD
lcm_result = (m * n) // gcd_result
print("LCM:", lcm_result)

思路：

• 使用更相减损术，不断地用较大数减去较小数，直到两数相等。最终的相等数就是最大公约数。

优点：

• 算法简单、直观。

缺点：

• 算法的递归深度可能较大，特别是对于较大的整数。

方法3: 利用公式求最小公倍数

def lcm_formula(m, n):
    # LCM = m * n / GCD
    gcd_result = gcd_euclidean(m, n)
    return (m * n) // gcd_result

m = 36
n = 48
gcd_result = gcd_euclidean(m, n)
print("GCD:", gcd_result)

lcm_result = lcm_formula(m, n)
print("LCM:", lcm_result)

思路：

• 利用最大公约数公式求最小公倍数。

优点：

• 可以重用最大公约数算法，简化计算。

缺点：

• 需要调用最大公约数算法。

方法总结及推荐

• 推荐方法： 方法1中的辗转相除法（欧几里德算法）是最常用且高效的方法，它能够快速求解最大公约数，并通过公式直接计算最小公倍数。

• 适用场景：

  • 对于最大公约数和最小公倍数的求解，推荐使用辗转相除法（欧几里德算法）及公式计算，因为它们简单、高效，并且能够处理大整数。
  • 更相减损术可以作为一种直观的方法，但可能在递归深度较大时效率不高。