【数据结构总结笔记（二）----查找与排序】

目录

❼查找结构

顺序查找表

有序表查找

折半查找/二分查找（binary search）

插值查找（interpolation search）

斐波那契查找（fibonacci search）

线性索引查找

稠密索引

分块索引

倒排索引

 二叉排序树（binary sort tree）

二叉平衡树（AVL树）

多路查找树（B树）

B+树

 散列表查找（哈希表）

❽排序：使序列成为一个按key有序的序列

 内排序与外排序

冒泡排序（bubble sort）

简单选择排序（simple selection sort）

直接插入排序（straight insertion sort）

希尔排序（shell sort）

堆排序（heap sort）

归并排序（merging sort）

快速排序（quick sort）

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❼查找结构

查找表： 需要被查的元素的集合

关键字/键值（key）：数据元素中某个数据项的值

• 若此key可以唯一标识一个记录，则为主关键字（primary key），所在数据项称为主关键码
• 若此key可识别多个记录，则为次关键字（secondary key），所在数据项称为次关键码

查找表分类

静态查找表（static search table）：只做查找操作

• 查询某“特定”数据元素是否在查找表中
• 检索某“特定”数据元素和各种属性

动态查找表（dynamic search table）：查找同时可以插入或删除

• 查找时插入（不存在）数据元素
• 查找时删除（已存在）数据元素

 查找的存储结构

• 静态查找表：线性表结构存储；顺序查找算法（再对主key排序可应用折半查找）
• 动态查找表：二叉排序树
• 散列表结构

顺序查找表

• 设置哨兵（），循环判断下标是否越界()
• 时间复杂度：

缺：效率低下，所以应用于小型数据查找

有序表查找

（1）折半查找/二分查找（binary search）：线性表必须采取顺序存储

• 代码：
• 时间复杂度：

多用于静态查找表，用于动态查找表时，由于频繁插入或删除，维护有序的排序需要不小的工作量

（2）插值查找（interpolation search）:要查找的key与查找表中最大最小记录的key比较后查找

•  插值公式：
• 代码：
• 时间复杂度：

对于表长较长，且key分布较均匀的查找表，插值查找好于二分查找；反之，这种分布不均匀的，插值查找并不合适。

（3）斐波那契查找（fibonacci search）

1. ：查找成功
2. :   新范围是第low~第mid-1，范围个数为F(k-1)-1个
3. :   新范围是第m+1~第high，范围个数为F(k-2)-1个
4. 代码：
5. 时间复杂度：

平均性能优于二分查找，但最坏情况，低于二分查找

线性索引查找

关于索引：

（1）稠密索引：将数据集中的每个记录对应一个索引项

 索引项有序，证明查找可使用二分、插值、斐波那契查找，大大提高了效率；但如果数据集非常大，索引项与数据集记录个数相同，查找性能反而下降。

（2）分块索引：每块对应一个索引项

• 块需要满足的需求：块内无序、块间有序
• 时间复杂度：介于与之间。

索引项结构的三个数据项：

• 最大关键码
• 存储了块中的记录个数，以便于循环使用
• 用于指向块首数据元素的指针，便于开始对这一块中记录进行遍历

 查找步骤

• 在分块索引表中查找要查关键字所在的块（块间有序，所以二分、插值等算法查找）
• 根据块首指针找到相应块，并在块中顺序查找关键码（块内无序，只能顺序查找）

（3）倒排索引：记录号表存具有相同次key的所有记录的记录号（指向记录的指针/记录主key）

•  最基础的搜索技术
• 每项：属性值+属性值的各记录的地址
• 不是由记录确定属性值，而是属性值来确认记录位置，故为倒排

索引项通用结构

• 次关键码：例如下图“英语单词”
• 记录号表：例如下图“文章编号” 

 二叉排序树（binary sort tree）：提高查找和插入删除key的速度

• 空树
• 若左子树不空：左子树上所有结点值均小于它的根结构的值
• 若右子树不空：右子树上所有结点值均大于它的根结构的值
• 左右子树分别为二叉排序树

二叉排序树插入

• 将关键字放到树中的合适位置

二叉排序树删除

• 叶子结点直接删除
• 仅有左/右子树的结点：独子承父业
• 左右子树都有的结点：找到结点的直接前驱/直接后继，来替换删除结点（如下图）

二叉排序树的存储结构：链表（插入删除仅需修改链接指针）

比较平衡的二叉排序树的时间复杂度：

斜树的时间复杂度：

二叉平衡树（AVL树）：每节点左右子树高度差至多为1的二叉排序树

（平衡因子）BF：二叉树结点的左子树深度减去右子树深度的值

AVL树的BF只能为：-1、0、1

最小不平衡子树：距离插入结点最近的，且BF绝对值大于1的结点为根的子树 

 构建AVL树

• BF值为正：整棵树右旋（顺时针旋转）
• BF值为负：整棵树左旋（逆时针旋转）
• 最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时：先旋一次使符号相同，再反向旋一次

查找、插入、删除时间复杂度：

比较理想的一种动态查找表算法

多路查找树（B树）：每结点可有两个以上孩子，且每个结点处可存储多个元素

• 2-3树和2-3-4树都是B树的特例
• 结点最大的孩子数目为B树的阶（order）：2-3树为3阶B树

在B树上查找是一个顺指针查找结点和结点中查找关键字的交叉过程

2-3树：每结点都有2/3个孩子（2结点/3结点），且所有叶子都在同一层次上

2-3树的插入

• 空树：直接插入一个2结点
• 将结点插入到2结点的叶子上：将其升级为3结点
• 将结点插入到3结点上：拆分3结点，再从树中两元素或插入元素三者中选择其一向上移动一层

2-3树的删除

（1）结点位于3结点的叶子结点上：直接删除

（2）结点位于2结点上：删除一个只有一个元素的结点

• 此结点双亲也是2结点，且拥有一个3结点的右孩子：旋转
• 此结点双亲是2结点，它的右孩子也是2结点：整棵树变形，再旋转
• 此结点双亲是3结点：结点拆分再合并
• 若当前树为满二叉树：减少层数

 

（3）结点位于非叶子的分支结点：中序遍历得到前驱或后继，再补位

• 删除的分支节点为2结点
• 删除的分支节点为3结点的某一元素

 2-3-4树：4结点包含小中大三个元素和四个孩子（或没有孩子）

• 4结点要么没有孩子，要么4个孩子

B+树：应文件系统所需而出的一种B树的变形树

• 插入删除同B树：只不过操作元素都在叶子结点上进行

随机查找与B树相同，但若从最小关键字进行从小到大的顺序查找，B+树很有优势；B+树结构特别适合带有范围查找，比如查我们学校18~22学生人数，从根节点找到第一个18岁学生，然后在叶子结点按顺序查找到符合范围的所有记录。

 散列表查找（哈希表）

散列技术

• 通过key查找时不用比较就可获得记录存储位置
• 是一种存储方法，也是一种查找方法（散列是面向查找的存储结构）
• 记录间不存在逻辑关系，只与key有关联
• 最适合的求解问题是查找与给定值相等的记录
• 冲突（collision）：却有,则和为同义词

同key对应很多记录：不适用散列技术；只有如用班级学生的学号/身份证号来散列存储，此时一个号码唯一对应一个学生才比较合适

散列表也不适合范围查找：如查找18~22岁同学；无法获得表中记录的排序；无法计算最大值、最小值等结果

散列函数的构造方法

直接定址法：

• 取key的某个线性函数值为散列地址
• 需要事先知道key的分布情况，适合查找表较小且连续的情况

数字分析法：例如选择号码后四位称为散列地址

• 抽取：使用key的一部分来计算散列存储位置的方法
• 避免抽取出现冲突：抽取数字反转、右环位移、左环位移、叠加等
• 常用于key位数比较大的情况，若事先知道key分布且key的若干位分布均匀，使用数字分析法

平方取中法：

• 适合不知道key分布，且key位数不是很大的情况

折叠法:

• 将key从左到右分割成位数相等的几部分，并叠加求和，按表长取后几位为散列地址
• 适合不知道key分布，且key位数很大的情况

除留余数法：

• mod取模（求余数）
• 最常用

随机数法：

• 
• 适用于key长度不等的情况

处理散列表冲突

堆积：本不是同义词的两个key争夺一个地址 

开放定址法：一旦冲突就寻找下一个空的散列地址，只要散列表够大总有空散列地址存记录

• 线性探测法
• 二次探测法：增加平方运算，不让key都聚集在某一区域
• 随机探测法：随机函数计算得到位移量

再散列函数法：冲突就换一个散列函数计算

链地址法：同义词key存在一个单链表中（同义词子表），散列表中只存所有同义词子表的头指针

公共溢出区法：为所有冲突的key建立一个公共的溢出区来存放

❽排序：使序列成为一个按key有序的序列

 内排序与外排序

内排序：插入排序、交换排序、选择排序、归并排序

冒泡排序（bubble sort）

• 让每个key都与其后的每个key比较，如果大则交换，这样第一位置的key在一次循环后一定变成最小值
• 改进冒泡算法：增加一个标记变量flag来判断此序列是否已经有序
• 时间复杂度：

简单选择排序（simple selection sort）：

• 顺序扫描序列中的元素，先找出最小的，再找出第二小的（从除了上一次找出来的元素，也就是剩下的元素中找出最小的），直至排序完成
• 时间复杂度：

直接插入排序（straight insertion sort）

• 将数组划分为有序和无序部分，将无序中记录依次插入到有序部分的合适位置上，得到一个新的、记录数加1的有序表
• 时间复杂度：
• 三者均为，但直接插入 优于 简单选择 优于 冒泡排序

希尔排序（shell sort）

• 直接插入排序的改进版，也被称为缩小增量排序
• 将相距某个增量的记录组成一个子序列（分组），对每组直接插入排序（排序）。随着增量逐渐减少，每组包含的key越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法终止。
• 不稳定
• 时间复杂度：

堆排序（heap sort）

堆是具有以下性质的完全二叉树：

• 大顶堆：每个结点的值都大于等于其左右孩子结点的值
• 小顶堆：每个结点的值都大于等于其左右孩子结点的值

堆结构：将大/小顶堆层序遍历存入数组

• 简单选择排序的一种改进
• 构建堆的时间复杂度为,重建堆为,堆排序时间复杂度为
• 不稳定
• 不适合待排序序列较少的情况

归并排序（merging sort）

•  时间复杂度：
• 递归实现归并排序
• 非递归实现归并序列

快速排序（quick sort）

是任取待排序序列的一个元素作为中心元素(可以用第一个，最后一个，也可以是中间任何一个)，习惯将其称为pivot，枢轴元素；
将所有比枢轴元素小的放在其左边；
将所有比它大的放在其右边；
形成左右两个子表；
然后对左右两个子表再按照前面的算法进行排序，直到每个子表的元素只剩下一个。

• 冒泡排序的升级
• 时间复杂度：
• 不稳定

快速排序的优化

优化选取枢轴：

• 三数取中法（去三key先排，将中间数作为枢轴，一般取左右端、中间三个数）
• 九数取中法

优化不必要的交换

优化小数组时的排序方案

优化递归操作：尾递归优化

关于其他数据结构的总结：上一篇笔记

【数据结构总结笔记（一）--针对概念】_＿Carpediem的博客-CSDN博客