前缀和算法（一维和二维）（超详细）

前缀和

题目1-一维前缀和-前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N=100000;

int a[N];
int sum[N];

int main(){

    int m,n;
    int l,r;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>a[i];

    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];//sum保存a[i]的前缀和。
    }

    for(int i=1;i<=m;i++) {
        cin>>l>>r;
        cout<<(sum[r]-sum[l-1])<<endl;//注意是减去sum[l-1]，因为包括a[i]本身。
    }


    return 0;
}

算法思想：首先在纸上计算每一段数组的和，存储在sum数组中（打表），然后直接根据sum计算的结果对题目进行求解。关键在于对sum数组的求和过程和使用过程，需要在纸上模拟。

题目2 二维前缀和-子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

int q[1001][1001];
int sum[1001][1001];


int main(){

    int m,n,num;
    cin>>m>>n>>num;

    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&q[i][j]);
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+q[i][j];
        }
    }

    while(num--){
    int x1,x2,y1,y2;
    int res;
    cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
    res=sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1];
    printf("%d\n",res);
    }

    return 0;

}

算法思想：比一维前缀和稍微复杂一点，复杂之处在于在之上模拟的过程需要将对应的部分划分出来，求解得到的sum数组表示对应部分左上角区域的面积，然后再利用sum数组求解对应区域求和结果。