概述

在图形学渲染管线中，一个顶点坐标，大概要经历局部坐标系、世界坐标系、相机坐标系、裁剪坐标系，最后到窗口坐标系，显示在屏幕上。

坐标空间变换示意图

在这些过程中，从一个坐标系到另一个坐标系，都需要进行一定的变换。下面，将介绍每次变换的方式。

注意，本文是针对OpenGL的。

局部空间->世界空间

这一变换过程，主要是将模型放置在世界空间中，进行一定的缩放、旋转或平移。这一步比较简单，只要将相应的矩阵作用到模型的局部空间坐标即可。

比如，对模型缩放，然后绕Z轴旋转度，再进行的平移。注意，这里的变换顺序是不能变的，即要先进行缩放，再进行旋转，最后进行平移。据此，我们可以构建模型变换矩阵。
$M_{model}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x} \\ 0 & 1 & 0 & T_{y} \\ 0 & 0 & 1 & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

世界空间->相机空间

首先定义一下相机：

坐标为
观察方向
向上方向

示意图如下所示：

相机坐标系示意图

有一个性质注意一下：当相机和相机“看“到的物体一起变换时，相机”看“到的内容是不变的。这样，可以将相机的坐标移动到世界坐标的原点，向上方向对齐世界坐标的Y轴，观察方向对齐世界坐标的-Z轴。然后，对物体进行相同的变换即可。

在数学上，这个过程大概这样：

将相机移动到坐标原点
旋转观察方向到-Z轴
旋转向上方向到Y轴
旋转()到X轴

大体分为两步：先位移，后旋转。即。

平移部分：

对于旋转部分，先补充一些知识点。对于二维空间来说：

根据定义，旋转角度和旋转角度是互逆的，即：。

所以，对于旋转变换，可以得出旋转矩阵的逆等于它的转置，即：

回到上面的旋转部分，直接求相机的坐标轴旋转到世界坐标轴的矩阵不是很方便，但是反过来，求世界坐标轴旋转到相机的坐标轴很容易：
$R_{view}^{-1} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & x_{\vec{t}} & x_{-\vec{g}} & 0 \\ y_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{\vec{t}} & y_{-\vec{g}} & 0 \\ z_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{\vec{t}} & z_{-\vec{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
根据旋转矩阵的逆等于它的转置，得出：
$R_{view} = (R_{view}^{-1})^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{\vec{g} \times \vec{t}} & 0 \\ x_{\vec{t}} & y_{\vec{t}} & z_{\vec{t}} & 0 \\ x_{-\vec{g}} & y_{-\vec{g}} & z_{-\vec{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
根据，可以得出：
$M_{view} = R_{view}T_{view} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{\vec{g} \times \vec{t}} & 0 \\ x_{\vec{t}} & y_{\vec{t}} & z_{\vec{t}} & 0 \\ x_{-\vec{g}} & y_{-\vec{g}} & z_{-\vec{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

相机空间->裁剪空间

在一个顶点着色器运行的最后，期望所有的坐标都能落在一个特定的范围内，且任何在这个范围之外的点都应该被裁剪掉(Clipped)。被裁剪掉的坐标就会被忽略，所以剩下的坐标就将变为屏幕上可见的片段。这也就是裁剪空间(Clip Space)名字的由来。

因为将所有可见的坐标都指定在-1.0到1.0的范围内不是很直观，所以我们会指定自己的坐标集(Coordinate Set)并将它变换回标准化设备坐标系。

由投影矩阵创建的观察箱(Viewing Box)被称为平截头体(Frustum)，每个出现在平截头体范围内的坐标都会最终出现在用户的屏幕上。将特定范围内的坐标转化到标准化设备坐标系的过程（而且它很容易被映射到2D观察空间坐标）被称之为投影(Projection)，因为使用投影矩阵能将3D坐标投影(Project)到很容易映射到2D的标准化设备坐标系中。

这里要注意一下，OpenGL是右手坐标系的，但是在NDC中，是左手坐标系的，这里要特别注意！！！

相机空间转换到裁剪空间，有需要用到投影变换。有两种投影变换：正交投影和透视投影。下面分别介绍一下。

正交投影

我们先定义一个正交投影的视锥体（注意，n和f都是负数，f是远平面，所以f注意，这里映射到NDC中的[1,-1]。

image

这里，分成两个步骤：平移和缩放。正交投影的矩阵如下：
$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{f-n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

透视投影

对于透视投影，分成两步操作：

首先，“压扁”视锥体成一个长方体（n->n,f->f）（）；
然后，做正交投影操作（，即上面的正交投影）。

透视投影和正交投影的视锥体示意图

观察下图：

从X轴观察

根据相似三角形的关系，可以得出：

类似的，可以得出：

由此，可以得出下面的关系：

下面，说一个齐次坐标的性质：在3D坐标系统中，，，都表示相同的坐标---。例如：和都表示坐标。

所以，有如下关系：
$M_{persp->ortho}^{(4 \times 4)} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{n}{z}x \\ \frac{n}{z}y \\ unknown \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknown \\ z \\ \end{pmatrix}$
更进一步的，可以得到：

现在，还剩下第三列是未知的。

经过观察上面的透视投影视锥体，可以得出以下推论：

近平面上的点的坐标都不会改变；
远平面上的点，Z坐标不改变。

根据推论1，近平面上的点经过变换后，不会改变。即：

根据：

因为与x和y都没有关系，所以可以得出的第三列的形式是。

根据：

可以得出：

根据推论2，远平面的中心点，经过变换后，还是本身。如下：

所以，可以得出：

即：

到这里，可以得出方程组：

到这里，可以得出:

最终，透视投影矩阵：
$M_{persp} = M_{ortho}M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f+n}{f-n} & \frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

裁剪空间->窗口空间

在裁剪空间的最后，所以的可见的点都在标准设备坐标系（NDC）中，即坐标坐落在范围内。

先不考虑Z轴的变换。

从NDC到窗口空间，需要经过视口变换。定义一个屏幕空间：。平面左下角的坐标位，右上角的坐标为。对于X和Y坐标的变换，即从到。

这里，经过两步变换：

将NDC的中心平移到窗口的中心；
将NDC的大小缩放到屏幕的大小。

合并到一起：

对于Z坐标，从映射到了。这里只是简单的线性映射。假设，当等于-1时，等于0；当等于1时，等于1。可得如下方程组：

所以，。代入上述矩阵，可得：

参考

[1] GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪
[2] OpenGL Projection Matrix
[3] Steve Marschner and Peter Shirley，“Fundamentals of Computer Graphics”

渲染管线中的顶点变换

概述