数学经典例题

$$\begin{gathered} （1）求x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值 \\ 首先能想到的是，该函数在点0、-1、-2、-3时函数值为0 \\ x(x+1)(x+2)(x+3)关于x=-1.5对称、以及函数在(-\infty ,+\infty )上的正负性 \\ 且容易知道函数图像是W形状，最小值在(-1,0)上产生 \\ 但仅此而已，我们不知道具体在哪一点产生最小值，也不知道最小值是多少 \\ 常规的方法是求导数为0的点，但这个函数求导后是一元三次方程，求解十分困难 \\ 下面介绍一种简单的做法 \\ y=x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x)(x^2+3x+2) \\ 令t=x^2+3x，则y=t^2+2t=(t+1{)}^2-1>-1 \\ 因此可以知道最小值是-1，但不够严谨 \\ 不严谨的地方在于t能否取到-1，即x^2+3x能否取到-1 \\ 即方程x^2+3x+1=0有没有实根，一般做法是配方 \\ 即(x+\frac{3}{2}{)}^2-\frac{5}{4}=0，由此可知有实根 \\ （2）{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx（泊松积分、高斯积分） \\ 方法一： \\ 利用二重积分和极坐标，令I={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-y^2}dy \\ {I}^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-{\rho }^2}\rho d\rho d\theta =\pi \\ 因此I=\sqrt{\pi } \\ 方法二：利用正态分布 \end{gathered}$$