概率论的相关知识

1. 理解随机变量$X$和$x$的区别，$F_X(x)$、$f_X(x)$
   $X$代表的是随机变量，$x$是样本值，是$X$的具体取值，分布函数$F_X(x)$和概率密度$f_X(x)$中的下角标大写$X$代表的就是随机变量，$x$是自变量取值。
   $e.g.P(X=x)=0.3$

2. $F_X(x)$和$F_X(y)$的理解
   问：$F_X(y)$是谁的函数？对$F_X(y)$求导得到的是谁的概率密度函数？
   $e.g.$
   已知随机变量X的分布函数是F_X(x)，随机变量$Y=\frac{X}{2}$，求Y的概率密度函数$
   解：
   $F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{\frac{X}{2}\le y\}=P\{X\le 2y\}=F_X(2y)$
   $f_Y(y)=2f_X(2y)$(求导后由分布函数变成概率密度函数)
   总结：
   $F_X(2y)$虽然右下角下标是$X$，但它依然是$y$的函数，对$F_X(2y)$求导的本质是对$y$求导，得到$2f_X(2y)$，这是一个复合函数求导，先对$F_X(x)$求导，再对$x=2y$求导

3. $F(x)$和$F(X)$的理解
   $F(x)$是$F_X(x)$的简写，是$X$的分布函数，那$F(X)$是____？
   理解：给随机变量$X$作用一个函数$F()$，得到的$F(X)$是一个新的随机变量，一般做题时令$Y=F(X)$，去求$Y$的分布函数、概率密度函数或者数字特征.
   e.g.
   2019年（数一、数三）14题
   设随机变量X的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}& 0<x<2\\ 0& 其他\end{array}$，$F(x)$为$X$的分布函数，$EX$为$x$的数学期望，则$P\{F(X)>EX-1\}=\_\_\_\_$
   解：$EX={\int }_0^{2}x\cdot \frac{x}{2}dx=\frac{x^3}{6}{|}_0^2=\frac{4}{3}$
   现在就是求$P\{F(X)>\frac{1}{3}\}$，令$Y=F(X)$，注意这是个随机变量（不是分布函数），但我们需要先求x的分布函数
   $F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ {\int }_0^x\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}& 0\le x<2\\ 1& x\ge 2\end{array}$
   由于$F(X)$和$F(x)$的对应法则是一样的，所以直接把$x$变成$X$即可得到$F(X)$
   $F(X)=\{\begin{array}{ll}0& X<0\\ \frac{X^2}{4}& 0\le X<2\\ 1& X\ge 2\end{array}$