Fourier变换的微分性质及其证明

Fourier变换的微分性质及其证明

一、微分性质

如果$f(t)$满足：在$(-\infty ,+\infty )$上连续或只有有限个可去间断点，且当$|t|\to +\infty$时，$f(t)$ $\to$ $0$,则
$$\mathcal{F}[f^{\prime }(t)]=j\omega \mathcal{F}[f(t)]$$
该式表明一个函数导数的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换乘以$j\omega$.

二、证明

证明：由Fourier变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f ′ ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ′ ( t ) e − j ω t d t = f ( t ) e − j ω t ∣ − ∞ + ∞ + j ω ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t = j ω F [ f ( t ) ] \mathscr F[f'(t)] = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f'(t){e^{ - j\omega t}}dt} \\ \\ \\= \left. {f(t){e^{ - j\omega t}}} \right|_{ - \infty }^{ + \infty } + j\omega \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t){e^{ - j\omega t}}dt} \\ \\ \\= j\omega \mathscr F[f(t)] F[f′(t)]=∫−∞+∞​f′(t)e−jωtdt=f(t)e−jωt ​−∞+∞​+jω∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt=jωF[f(t)]

注：分部积分公式：$\int udv=uv-\int vdu$

三、微分性质推论

推论：若$f^{(k)}(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续或只有有限个可去间断点，且$\underset{|t|\to \infty }{\lim }{f}^{(k)}(t)=0$,$k=0,1,2,...,n-1$,则

$$\mathcal{F}[f^{\left(n\right)}(t)]={\left(\mathrm{j}\omega \right)}^n\mathcal{F}[f(t)]$$

四、象函数的导数

象函数的导数公式：
设$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$,则
$$\frac{d}{d\omega }F(\omega )=\mathcal{F}[-jtf(t)]$$
该式表明一个函数的象函数的导数等于该函数乘以$-jt$后的Fourier变换。

一般地，
$$\frac{d^n}{d{\omega }^n}F(\omega )=(-j{)}^n\mathcal{F}[t^{n}f(t)]$$