Fourier变换的积分性质及其证明过程

Fourier变换的积分性质及其证明过程

一、积分性质

如果当$t\to +\infty$时，$g(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\to 0$，则：
$$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega }\mathcal{F}\left[f(t)\right]$$

该式表明一个函数的积分后的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换除以因子$j\omega$.

注意：
当$\underset{t\to \infty }{\lim }g(t)\ne 0$时，积分性质应为：
$$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega }\mathcal{F}\left[f(t)\right]+\pi F(0)\delta (\omega )$$
即：
$$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega }F(\omega )+\pi F(0)\delta (\omega )$$
其中：$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$.

二、Fourier变换的积分性质的证明过程

证明：
根据高等数学理论，因为$$\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t=f(t)$$，所以
$$\mathcal{F}\left[\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\mathcal{F}\left[f(t)\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

又根据Fourier变换的微分性质：
$$\mathcal{F}[g^{\prime }(t)]=j\omega \mathcal{F}[g(t)]$$
可得：
$$\mathcal{F}\left[\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=j\omega \mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t]\text{\hspace{1em}(2)}$$

对比公式（1）和（2）可知：
$$\begin{gathered} \mathcal{F}\left[\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\mathcal{F}\left[f(t)\right] \\ =j\omega \mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t]\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

因此可得：
$$\mathcal{F}\left[f(t)\right]=j\omega \mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t]\text{\hspace{1em}(4)}$$

对式子（4）两边除以$j\omega$得到：
$$\mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t]=\frac{1}{j\omega }\mathcal{F}\left[f(t)\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
证毕.