代码随想录算法训练营 动态规划part07

一、爬楼梯 （进阶）

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

解题思路：
设跳上 n 级台阶有 f(n) 种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上 1 级或 2 级台阶。

当为 1 级台阶： 剩 n−1 个台阶，此情况共有 f(n−1) 种跳法。
当为 2 级台阶： 剩 n−2 个台阶，此情况共有 f(n−2)种跳法。
即 f(n)为以上两种情况之和，即 f(n)=f(n−1)+f(n−2) ，以上递推性质为斐波那契数列。因此，本题可转化为 求斐波那契数列的第 n项，区别仅在于初始值不同：

青蛙跳台阶问题： f(0)=1 , f(1)=1 , f(2)=2 。
斐波那契数列问题： f(0)=0 , f(1)=1 , f(2)=1 。

动态规划解析：
状态定义： 设 dp 为一维数组，其中 dp[i] 的值代表斐波那契数列的第 i 个数字。
转移方程： dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1]，即对应数列定义 f(n+1)=f(n)+f(n−1) 。
初始状态： dp[0]=1, dp[1]=1 ，即初始化前两个数字。
返回值： dp[n] ，即斐波那契数列的第 n 个数字。

优化：

若新建长度为 n 的 dp 列表，则空间复杂度为 O(N)。

由于 dp 列表第 i 项只与第 i−1 和第 i−2 项有关，因此只需要初始化三个整形变量 sum, a, b ，利用辅助变量 sum  使 a,b  两数字交替前进即可 （具体实现见代码） 。由于省去了 dp  列表空间，因此空间复杂度降至 O(1) 。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int a = 1, b = 1, sum;
        for(int i = 0; i < n - 1; i++){
            sum = a + b;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return b;
    }
}

二、零钱兑换 

322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // 自底向上的动态规划
        if(coins.length == 0){
            return -1;
        }

        // memo[n]的值： 表示的凑成总金额为n所需的最少的硬币个数
        int[] memo = new int[amount+1];
        memo[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= amount;i++){
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for(int j = 0;j < coins.length;j++){
                if(i - coins[j] >= 0 && memo[i-coins[j]] < min){
                    min = memo[i-coins[j]] + 1;
                }
            }
            // memo[i] = (min == Integer.MAX_VALUE ? Integer.MAX_VALUE : min);
            memo[i] = min;
        }

        return memo[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : memo[amount];
    }
}

三、完全平方数 

279. 完全平方数 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int minn = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                minn = Math.min(minn, f[i - j * j]);
            }
            f[i] = minn + 1;
        }
        return f[n];
    }
}

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