28.LCA问题

一、问题简介

最近公共祖先简称 LCA（Lowest Common Ancestor）。两个节点的最近公共祖先，就是这两个点的公共祖先里面，离根最远的那个。为了方便，我们记某点集$S=\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$的最近公共祖先为$LCA(S)$或$LCA(v_1,v2,...,v_n)$。

除了暴力沿着树根的方向一步步往上以外，常见的求解 LCA 问题的算法有三种，分别是倍增算法、离线tarjan算法、树链剖分算法。它们各有优缺点，需要在不同的时候选择恰当的算法进行使用。

二、倍增求LCA

1.倍增算法

倍增算法，顾名思义就是翻倍。它是一种和二分法思路相反的高效算法。二分法是每次缩小一半，从而以$O(\log n)$的速度定位到问题的解。而倍增算法是每次扩大一倍，以$O(2^n)$的速度逼近问题的解。它能够使线性的处理转化为对数级的处理，大大地优化时间复杂度。

这个方法在很多算法中均有应用，其中最常用的有两大类：

• ST 表求解 RMQ 问题、后缀数组
• LCA 问题、快速幂

2.求解LCA

• 预处理出 $paren{t}_{i,level}$数组，表示点 $i$ 的第 $2^{level}$ 个祖先。初始值可以通过 dfs 确立父子关系，随后通过倍增的方式求出祖先关系。通过这个数组，我们可以在树上快速移动，大幅减少了跳转次数。我们将在树上跳转的过程分为两个阶段来进行。
• 在跳转的第一阶段中，我们要将 $x,y$ 两点跳转到同一深度。我们可以计算出 $x,y$ 两点的深度之差，设其为 $\Delta d$。通过将 $\Delta d$ 进行二进制拆分，我们将 $\Delta d$ 次游标跳转优化为 $\Delta d$ 的二进制表示中，所含 $1$ 的个数次跳转。
• 在第二阶段中，我们从最大的 $j$ 开始循环尝试，一直尝试到 0，如果 $paren{t}_{x,j}\ne paren{t}_{y,j}$，则$x\leftarrow paren{t}_{x,j},y\leftarrow paren{t}_{y,j}$。等到$j=0$时，最后的 LCA 为 $paren{t}_{x,0}$。
• 预处理时间复杂度为 $O(n\log n)$，单次查询时间复杂度为 $O(\log n)$。

3.模板代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef int ll;
const ll maxn=500010;
struct node
{
	ll v;
	ll next;
}e[2*maxn];
ll p[maxn],t=0;
ll n,m,s;
ll parent[maxn][30],d[maxn];
void insert(ll u,ll v)
{
	e[t].v=v;
	e[t].next=p[u];
	p[u]=t++;
}
void dfs(ll u,ll pre)
{
	for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)
	{
		ll v=e[i].v;
		if(d[v]==-1)
		{
			parent[v][0]=u;
			d[v]=d[u]+1;
			dfs(v,u);
		}
	}
}
ll LCA(ll x,ll y)
{
	ll i;
	if(d[x]<d[y])
		swap(x,y);
	for(i=0;(1<<i)<=d[x];i++)
		;
	i--;
	for(ll j=i;j>=0;j--)
		if(d[x]-(1<<j)>=d[y])
			x=parent[x][j];
	if(x==y)
		return x;
	for(ll j=i;j>=0;j--)
	{
		if(parent[x][j]!=parent[y][j])
        {
            x=parent[x][j];
            y=parent[y][j];
        }
	}
	return parent[x][0];
}
int main()
{
	memset(d,-1,sizeof(d));
	memset(p,-1,sizeof(p));
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(ll i=1;i<=n-1;i++)
	{
		ll u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		insert(u,v);
		insert(v,u);
	}
	d[s]=0;
	dfs(s,-1);
	for(ll level=1;(1<<level)<=n;level++)
		for(ll i=1;i<=n;i++)
			parent[i][level]=parent[parent[i][level-1]][level-1];
	for(ll i=1;i<=m;i++)
	{
		ll x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		ll lca=LCA(x,y);
		printf("%d\n",lca);
	}
	
	return 0;
}

三、离线tarjan算法

四、树链剖分算法

1.算法简介

有时候因为题目特性，倍增求 LCA 可能会比较慢。而由于一些强制在线的原因， tarjan 离线的方法求 LCA 的方法也不再适用，这时候就需要下面讲到的树链剖分算法进行求解了。主要思想是利用轻重链的划分来快速在树上进行跳转。

2.算法分析

• 按照深度优先遍历一遍整棵树，对于每个结点，选取它的子节点中以这个子节点为根的子树 $size$ 最大的那一个，将这个子节点和他的父节点连接起来，表示他们在同一条重链上。
• 在查询两个节点的LCA时，如果当前两个节点不在同一重链上，则将深度更大的结点跳转到重链的顶端。
• 重复上面操作$2$直到两个节点处于同一重链，这时候因为两点在同一条链上，则返回深度更低的那一个，即两个点的LCA。

3.模板程序

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=500010;
struct node
{
    ll v;
	ll next;
}e[maxn*2];
ll p[maxn],t=0;
ll d[maxn],size[maxn],son[maxn],top[maxn],fa[maxn];
ll n,m,S;
void insert(ll u,ll v)
{  
	e[t].v=v;
	e[t].next=p[u]; 
    p[u]=t++;  
}  
void dfs1(ll u)
{  
    size[u]=1;
    for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)  
    {
        ll v=e[i].v;  
        if(fa[u]!=v)
		{
            fa[v]=u;  
            d[v]=d[u]+1;  
            dfs1(v);  
            size[u]+=size[v];  
            if(size[son[u]]<size[v])//son[u]表示结点u的儿子中以其为根的子树size最大的那个(用来构造重链)
		        son[u]=v;
        }  
    }  
}  
void dfs2(ll u)
{  
    if(u==son[fa[u]])//如果u是fa[u]的儿子中拥有最大size的那个
        top[u]=top[fa[u]];//把top[u]连向top[fa[u]]（形成重链）   
    else
		top[u]=u;//否则指向它自己   
    for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)
        if(e[i].v!=fa[u])
          dfs2(e[i].v);
}
ll LCA(ll x,ll y)
{  
    while(top[x]!=top[y])//x,y不在同一条重链上时
	{
		if(d[top[x]]>d[top[y]])//将深度大的上提
        	x=fa[top[x]];
		else
			y=fa[top[y]];
    }
    if(d[x]<d[y])//返回x,y中在较上方的那个
    	return x;
    return y;
}
int main()
{
    memset(p,-1,sizeof(p));
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&S);
    for(ll i=1;i<n;i++)
	{
        ll u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        insert(u,v);
        insert(v,u); 
    }
    d[S]=1;
    dfs1(S);//预处理d和fa
    dfs2(S);//预处理top
    for(ll i=1;i<=m;i++)
	{
        ll u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        printf("%lld\n",LCA(u,v));
    }
    
    return 0;
}

四、习题

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

P2420 让我们异或吧

P5836 [USACO19DEC]Milk Visits S