光度立体简介

光度立体法，即Photometric Stereo, 最早是由当时在MIT的人工智能实验室的Robert J. Woodham教授在1978年左右提出。他在1979年的论文《Photometric stereo: A reflectance map technique for determining surface orientation from image intensity》，以及1980年的论文《Photometric Method for Determining Surface Orientation from Multiple Images》中比较系统的阐述了整套理论框架。
Woodham在论文中提出三个基本假设。在着三个基本假设下完成整套理论框架的推演。这三个基本假设分别是：

假设相机的投影是正交投影
入射光由远处的单一点光源发出，这样照射到物体表面每一点的光的方向一致，强度一致
物体表面具有朗伯（lambertian）反射特性
方法的大致思路就是：
当相机和目标物体相对位置固定不变时，使用不同方向的光源照射同一目标物体，相机可以拍摄到目标物体带有不同明暗分布的图像，再通过求解基于朗伯反射原理的反射方程组，求解目标表面的法向分布或者深度地图

具体我们通过一些基础知识，慢慢串联到最终的解法上。

通过小孔成像的原理我们可以知道，照片上的像素值其实就是所有射到该点位置的光线的radiance的度量。那到达该点的光线是怎么来的？如果该点位置正好在某个物体（默认不发光的）上，那么该条光线应该是从光源出发打到物体上的对应点，并反射到空间中经过成像小孔达到成像屏上，也就是最后照片上的像素值。对于反射而言，我们有物体表面的法向量，有入射光的radiance和入射角θi。那么反射角θr以及出射光的radiance之间是什么关系呢？基于朗伯反射假设，它们满足以下关系：

BRDF

示意图

其中ρ是一个无关入射角和出射角的常量，是物体该点的特性。这边称为albedo。
因此对于一张照片而言，照片上的每一点都可以列出下列的式子：

一个像素对应公式

上边公式中的Li代表光源的强度，粗体字母表示方向向量（单位向量，指标是方向模长为1）
因为ρ是个常数，我们可以将其和N合并成G来表示。则对于一张图片而言，在假设光源强度为1的情况下我们可以写成：

全图矩阵表示法

因为每个位置对应的G是个三维向量（方向为normal，模长为albedo），因此单个光源无法求解该方程。至少需要三个不同位置的光源，得到三张同一个物体不同的照片才可以求解（这边相机和物体的相对位置不变）
假设有k个不同光源，则可以列出下列方程：

不同光源列出方程组

合并成矩阵表示：

多光源多图矩阵表示

多光源多图维度示意图

因此，通过最小二乘：

找到最小误差的G

我们可以求得：

最小二乘得到的G的表达式

推导过程

至此，我们求得G的模长就是albedo，而归一化后的单位向量矩阵就是normal

albedo求法

normal求法