最短公共超序列（最短公共父序列）

定义

给出两个字符串 str1 和 str2，返回同时以 str1 和 str2 作为子序列的最短字符串。如果答案不止一个，则可以返回满足条件的任意一个答案。

（如果从字符串 T 中删除一些字符（也可能不删除，并且选出的这些字符可以位于 T 中的 任意位置），可以得到字符串 S，那么 S 就是 T 的子序列）

样例1

输入：str1 = “abac”, str2 = “cab”
输出：“cabac”
解释：删去 “cabac” 第一个字母的 “c” 得到 “abac”。
删去 “cabac” 最后两个字母 “ac” 得到 “cab”。

样例2

输入：str1 = “AABXFGA”, str2 = “ABAAXGF”
输出：“ABAABXGFGA”
解释：删去 “ABAABXGFGA” 加黑字母 得到"AABXFGA"。
删去 "ABAABXGFGA “加黑字母"ABAAXGF”。

递推公式

最短公共超序列和最长公共子序列有些相似、
设序列X={x1,x2…xm}，Y={y1,y2…yn}
X与Y的最短公共超序列为Z={z1,z2…zk}（z都是x和y序列中的字符）
dp（m,n）表示序列X的前m项和序列Y的前n项的最短公共超序列的位数

1. 当X（Y）至少有一个序列为空时：
   此时最短公共超序列z一定要包含X（Y）全部字符，而求最短公共超序列，于是最短公共超序列就是X（Y）

Y为空时：dp（i，0）=i (1<=i<=m）
X为空时：dp（0，j）=j (1<=j<=n）

2. 当Xm=Yn时
   此时，该字母一定包含在最短公共超序列中，相等就只需要加一个就好啦。（比如x中是a，y中也是a，最短公共超序列中只需要加一个a就行了）

dp（m，n）=dp（m-1，n-1）+1

3. 当Xm！=Yn时， 当xm（yn）为最短公共超序列中需要新添加的一个字符时（x出现了一个从来没出来的字符）

dp[i][j]=dp[i-1][j]+1
dp[i][j]=dp[i][j-1]+1

则递推公式为：

样例过程图解

str1 = “AABXFGA”,
str2 = “ABAAXGF”

10为最后的结果，蓝色代表其中的一种解

c语言代码

#include 
#include 
int max(int a,int b)
	{
		if(a>b)
			return a;
		else return b;
	}
int min(int a,int b)
	{
		if(a<b)
			return a;
		else return b;
	}
int dp[105][105],len1,len2,cou=0;
char a[105],b[105],c[105];	//a,b用来存放输入的两个字符串，c存放最短公共超序列的一种解 
int main()
{	int i,j;
	scanf("%s",&a);
    scanf("%s",&b);
    len1=strlen(a);
	len2=strlen(b);
    for(i=strlen(a);i>0;i--)	//为了方便dp数组的操作，我将字符往后移动一位 
    	a[i]=a[i-1];
    for(i=strlen(b);i>0;i--)
    	b[i]=b[i-1];
    a[0]='0';	//随便给的值 
    b[0]='1';
    for(i=0;i<=max(len1,len2);i++)	//当某个字符串为空时，赋初值 
		dp[i][0]=dp[0][i]=i;
    for(i=1;i<=len1;i++)
    {
        for(j=1;j<=len2;j++)
        {
            if(a[i]==b[j])
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;	//根据递推公式求dp（） 
           else 
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
        }
    }
	i=len1;
    j=len2;
	while(i>0&&j>0)	//根据比较最后的值是怎么来的，计算出最短超序列的一种解 
        {
            if(dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+1&&a[i]==b[j])	//相等时 
                {
                c[cou]=a[i];
                cou++;
                i--;
                j--;
				}
			else if(dp[i][j]==dp[i-1][j]+1&&a[i]!=b[j])//来自a 
				{
          		c[cou]=a[i];
          	  	cou++;
           		i--;
				}
            else if(dp[i][j]==dp[i][j-1]+1&&a[i]!=b[j])//来自b 
                {
                c[cou]=b[j];
                cou++;	
                j--;
				}    
        }
    while(i>0)	//输入的字符串大小不等，或者在a，b中选取的个数不相等时，若第0行或者第0列没有选完时 
    	{
    		c[cou]=a[i];
    		i--;
    		cou++;
		}
	while(j>0)
    	{
    		c[cou]=b[j];
    		j--;
    		cou++;
		}
	for(i=strlen(c)-1;i>=0;i--)	//输出其中一个最短超序列 
		printf("%c",c[i]);
	printf("\n");
    printf("\n%d",dp[len1][len2]);
    return 0;
}