【数学建模算法】(20)排队论：M/M/s/s损失制排队模型

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。
这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

1.损失制排队模型的基本参数

对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如下指标。
（1）系统损失的概率

@pel(rho,s)

其中rho是系统到达负荷，s是服务台或服务员的个数。
（2）单位时间内平均进入系统的顾客数（）

（3）系统的相对通过能力（）与绝对通过能力（）

（4）系统在单位时间内占用服务台（或服务员）的均值（即）

注意：在损失制排队系统中，，即等待时间为0。
在上述公式，引入是十分重要的，因为尽管顾客以平均的速率到达服务系统，但当系统被占满后，有一部分顾客会自动离去，因此，真正进入系统的顾客输入率是，它小于

2.损失制排队模型计算实例。

2.1.s=1的情况（M/M/1/1）

例1 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min，求系统相应的参数指标。

其参数为。编写LINGO程序如下：

model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end

求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务，通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统，系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2.2.的情况

例2 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

（1）电话交换台的服务分为两类，第一类内线打外线，其强度为：

第二类时外线打内线，其强度为：

因此，总强度为：

（2）这是损失制服务系统，按题目要求，系统损失率不能超过5%，即：

（3）外线是整数，在满足条件下，条数越小越好。

由上述三条，编写相应的Lingo程序如下：

model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);Plost<0.05;
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
end

求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65 ％，有96.35％的电话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

编写LINGO程序：

model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
end

求得

第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。
编写LINGO程序如下：

model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15;Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end

比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算时间上要少许多。