关于完全背包的解析以及完全背包与01背包的区别及代码

完全背包是什么呢？如果大家了解过01背包那么完全背包也是可以理解的。完全背包也是求一个固定容量的背包，能够装入物品的最大价值是多少，也就是说该背包最多能装多少价值？和01背包不同的是，完全背包里所能装的各个物品给定是无限的，也就是说同一个物品我们可以取很多次。

这就是它们的题目区别，这一点区别对于遍历顺序来说影响巨大，我们这次用一维数组来解决完全背包的问题。

关于一维数组解决思路如果有不明白的地方，可以去看我以前发过的01背包的一维数组解决思路。

完全背包一维数组解决的动规五部曲中，dp数组的含义，递推公式，dp数组的初始化与01背包的一维数组解决思路前三步完全相同，这里不再做过多描述。我们重点讲解完全背包的遍历顺序是怎样的。

完全背包的遍历顺序，对于背包遍历顺序不再和01背包相同了，01背包的遍历顺序是从后向前，这是由于我们递推公式特性决定的，它会和之前的容量价值相对比，为了使背包中每个物品都只能用一次，所以我们只能用倒序的遍历，而完全背包物品可以用无数次，所以我们要遍历背包时候，正序遍历。这样第一次遍历其他容量的背包就有数，大容量背包在第一次填数时候就可以和之前小容量背包比较价值，使背包加入更多同样物品，进而使背包价值更大。这里的背包遍历顺序是由物品的数目不同而引起的变化。

那么完全背包的两层fou循环可以颠倒吗？也就是说我们可以先遍历背包再遍历物品吗？答案是纯完全背包的问题是可以的！两个for循环颠倒顺序没有什么影响。没错，即使是用一维数组实现完全背包，它仍然不受影响，完全背包的各部分数据也就是背包价值，是由上一次的填数所推出的，即使先锁定背包容量，往里面持续填各种物品也是可以的，因为物品数目没有限制的缘故，并不会发生类似于01背包锁定背包容量时，出现的背包只能装入一个物品的bug！锁定背包容量，也就是背包容量遍历在第一个for循环，也就是外部循环，它遍历完之后并不会再遍历了，如果是01背包由于它的背包遍历还是倒着遍历的，以至于在放后面的物品时候，根据递推公式我们要腾出地方dp【j-weight【i】】这个时候前面的小容量背包暂时没有值，导致背包虽有空间但却无法放入其他物品！！！这也是为什么01背包不能够颠倒for循环，可能以前的那个章节我对这里的解释并不是很清晰，大家可以看这里好好理解。01背包之所以不能够颠倒for循环，和递推公式、物品的数量限制、01背包的本身遍历背包的顺序是有着不可分割的关系的。

我们上面提到了，下一步我们要填的数是和上一次的值推出来的，我们可以分别画表格，无论是哪一个先遍历，都不会影响完全背包的背包价值，因为它是正向遍历背包且物品可以放很多个，这样在放其他物品时候和上一次放很多个上一个物品时候，取最大值是不受for循环颠倒所干扰的。

实际上这些事情在我第一次学习01背包的时候并不能很好的理解，为什么01背包用一维数组实现不能for循环倒置，那个时候还有想过，如果倒置了之后背包不倒序遍历呢？其实和这个没有干系，背包的倒序遍历，是控制物品个数的！我们要搞清楚哪一步都是用来做什么的，这样才能更深刻的理解解题思路。理论的解释可能有时候显得确实差一点意思，感觉不到到底是究竟为什么完全背包就不受for循环颠倒所影响，最好还是通过对代码的调试来理解，到底是否存在着干扰。

给出代码

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}