关于完全背包的解析以及完全背包与01背包的区别及代码

完全背包是什么呢?如果大家了解过01背包那么完全背包也是可以理解的。完全背包也是求一个固定容量的背包,能够装入物品的最大价值是多少,也就是说该背包最多能装多少价值?和01背包不同的是,完全背包里所能装的各个物品给定是无限的,也就是说同一个物品我们可以取很多次。

这就是它们的题目区别,这一点区别对于遍历顺序来说影响巨大,我们这次用一维数组来解决完全背包的问题。

关于一维数组解决思路如果有不明白的地方,可以去看我以前发过的01背包的一维数组解决思路。

完全背包一维数组解决的动规五部曲中,dp数组的含义,递推公式,dp数组的初始化与01背包的一维数组解决思路前三步完全相同,这里不再做过多描述。我们重点讲解完全背包的遍历顺序是怎样的。

完全背包的遍历顺序,对于背包遍历顺序不再和01背包相同了,01背包的遍历顺序是从后向前,这是由于我们递推公式特性决定的,它会和之前的容量价值相对比,为了使背包中每个物品都只能用一次,所以我们只能用倒序的遍历,而完全背包物品可以用无数次,所以我们要遍历背包时候,正序遍历。这样第一次遍历其他容量的背包就有数,大容量背包在第一次填数时候就可以和之前小容量背包比较价值,使背包加入更多同样物品,进而使背包价值更大。这里的背包遍历顺序是由物品的数目不同而引起的变化。

那么完全背包的两层fou循环可以颠倒吗?也就是说我们可以先遍历背包再遍历物品吗?答案是纯完全背包的问题是可以的!两个for循环颠倒顺序没有什么影响。没错,即使是用一维数组实现完全背包,它仍然不受影响,完全背包的各部分数据也就是背包价值,是由上一次的填数所推出的,即使先锁定背包容量,往里面持续填各种物品也是可以的,因为物品数目没有限制的缘故,并不会发生类似于01背包锁定背包容量时,出现的背包只能装入一个物品的bug!锁定背包容量,也就是背包容量遍历在第一个for循环,也就是外部循环,它遍历完之后并不会再遍历了,如果是01背包由于它的背包遍历还是倒着遍历的,以至于在放后面的物品时候,根据递推公式我们要腾出地方dp【j-weight【i】】这个时候前面的小容量背包暂时没有值,导致背包虽有空间但却无法放入其他物品!!!这也是为什么01背包不能够颠倒for循环,可能以前的那个章节我对这里的解释并不是很清晰,大家可以看这里好好理解。01背包之所以不能够颠倒for循环,和递推公式、物品的数量限制、01背包的本身遍历背包的顺序是有着不可分割的关系的。

我们上面提到了,下一步我们要填的数是和上一次的值推出来的,我们可以分别画表格,无论是哪一个先遍历,都不会影响完全背包的背包价值,因为它是正向遍历背包且物品可以放很多个,这样在放其他物品时候和上一次放很多个上一个物品时候,取最大值是不受for循环颠倒所干扰的。

实际上这些事情在我第一次学习01背包的时候并不能很好的理解,为什么01背包用一维数组实现不能for循环倒置,那个时候还有想过,如果倒置了之后背包不倒序遍历呢?其实和这个没有干系,背包的倒序遍历,是控制物品个数的!我们要搞清楚哪一步都是用来做什么的,这样才能更深刻的理解解题思路。理论的解释可能有时候显得确实差一点意思,感觉不到到底是究竟为什么完全背包就不受for循环颠倒所影响,最好还是通过对代码的调试来理解,到底是否存在着干扰。

给出代码

// 先遍历物品,在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

// 先遍历背包,再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

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