并查集是啥

一、啥是并查集

1、解释

看下维基百科的解释

啥？在说啥，看不懂？那说人话吧

通俗的说，并查集是一种数据结构，指在一些有N个元素的集合应用问题中，通常在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。

2、有啥优势

在足够多的合并和查询操作后，均摊下来单次的查询时间复杂度是O(1)。

3、作用

解决类似图的连通性问题大量使用并查集。

二、主要操作

1、初始化：把每个点所在集合初始化为其自身

通常来说，这个步骤在每次使用该数据结构时只需要执行一次，无论何种实现方式，时间复杂度均为O(N)。

2、查找：查找元素所在的集合，即此集合的代表节点——根节点

3、合并：将两个元素所在的集合合并为一个集合。集合小的连到集合大的

通常来说，合并之前，应先判断两个元素是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

三、路径优化压缩

1、思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快。

2、实现：第一步，找到根结点；第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点。

为啥最后均摊的时间复杂度是O(1)？

路径优化压缩是关键

因为每次在查找时，都会把此路径上所有的节点重新全部直接连到根节点上，以后再查找时都是一步到位，一步就找到了根节点，除了查找根节点以外的操作本身就是O(1)，而一个路径上重新调整的操作只会执行一次，所以最后均摊下来的时间复杂度是O(1)。

关于时间复杂度O(1)的证明

并查集最早由Bernard A. Galler和Michael J. Fischer于1964年提出，但是直到Fredman 和 Saks 在 1989 年才证明了任何并查集都需要O(1)的均摊时间来完成每次操作，25年才证明完成。

四、核心方法

/**
 * @author Java和算法学习：周一
 */
public static class UnionFind<V> {
    // 用户输入的V对应内部的Node
    public HashMap<V, Node<V>> nodes;
    // Node的父亲是谁
    public HashMap<Node<V>, Node<V>> parents;
    // Node所在集合的大小（只有集合的代表节点<可以理解为头节点>才会放到sizeMap中）
    public HashMap<Node<V>, Integer> sizeMap;

    // 初始化时把用户给定的数据全部放到各个Map中
    public UnionFind(List<V> values) {
        nodes = new HashMap<>();
        parents = new HashMap<>();
        sizeMap = new HashMap<>();
        for (V current : values) {
            Node<V> node = new Node<>(current);
            nodes.put(current, node);
            // 初始化时node的父亲是自己
            parents.put(node, node);
            // 初始化时node的size是1
            sizeMap.put(node, 1);
        }
    }
}

1、查找节点所在集合的代表节点

/**
 * 找到指定节点所在的代表节点
 *
 * @author Java和算法学习：周一
 */
public Node<V> findHead(Node<V> node) {
    Node<V> current = node;
    Stack<Node<V>> stack = new Stack<>();
    // 当前节点的父节点不是自己，说明还没找到最顶
    while (current != parents.get(current)) {
        stack.push(current);
        current = parents.get(current);
    }

    // 优化：修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点
    while (!stack.isEmpty()) {
        parents.put(stack.pop(), current);
    }

    return current;
}

2、isSameSet(V a, V b)

判断a、b所代表的两个集合是否在同一个集合中

/**
 * 判断两个节点所在集合是不是同一个集合
 *
 * @author Java和算法学习：周一
 */
public boolean isSameSet(V a, V b) {
    return findHead(nodes.get(a)) == findHead(nodes.get(b));
}

3、union(V a, V b)

将a、b所代表的两个集合合并为一个集合

/**
 * 将两个节点所在集合合并为一个集合
 *
 * @author Java和算法学习：周一
 */
public void union(V a, V b) {
    Node<V> aHead = findHead(nodes.get(a));
    Node<V> bHead = findHead(nodes.get(b));
    if (aHead != bHead) { // 说明a、b所在集合不是同一个集合
        int aSize = sizeMap.get(aHead);
        int bSize = sizeMap.get(bHead);
        // 找到size更大的集合
        Node<V> big = aSize >= bSize ? aHead : bHead;
        Node<V> small = big == aHead ? bHead : aHead;
        // 小的连到大的上面（这也是一个优化）
        parents.put(small, big);
        // 重新调整big所在集合的size
        sizeMap.put(big, aSize + bSize);
        // small所在集合已经连到big上，从sizeMap中移除
        sizeMap.remove(small);
    }
}

所有代码地址：https://github.com/monday-pro/algorithm-study/blob/master/src/basic/unionfind/TheUnionFind.java

五、省份数量问题

1、题目描述

LeetCode547

https://leetcode-cn.com/problems/number-of-provinces/

有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。

省份 是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。

给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。

返回矩阵中 省份 的数量。

2、示例

输入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]

[1, 1, 0]

[1, 1, 0]

[0, 0, 1]

输出：2

3、思路

如果知道使用并查集来求解，这题就水到渠成了，挨个将相连的城市使用并查集合并到一起，最后求并查集中集合的数量就是省份的数量了。相当于并查集就可以当一个黑盒来使用了。

4、代码

为了优化代码的执行时间，将最初由Map表示的集合采用一维数组来表示。

/**
 * @author Java和算法学习：周一
 */
public int findCircleNum(int[][] isConnected) {
    int length = isConnected.length;
    UnionFind unionFind = new UnionFind(length);
    // 因为整个 n*n 的二维矩阵是关于对角线对称的，而自己和自己是相连的，即对角线都是1，所以只需遍历一侧即可
    // 我们遍历的是右上方的数据
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        for (int j = i + 1; j < length; j++) {
            if (isConnected[i][j] == 1) {
                unionFind.union(i, j);
            }
        }
    }
    return unionFind.getSet();
}

所有代码地址：https://github.com/monday-pro/algorithm-study/blob/master/src/basic/unionfind/FindCircleNum.java

5、LeetCode测试