19-最短路径(Shortest Path)

最短路径(Shortest Path)

最短路径是指两个顶点之间权值之和最小的路径(有向图,无向图均可,不能有负权环

最短路径到底表达的是什么意思呢?

例如下面的有向图

从顶点A出发,到达其余顶点的权值如下

如果是无向图

从顶点A出发,到达其余顶点的权值如下

如果是无权图,则相当于是全部边的权值为1的有权图

无权图同样有最短路径的概念,在这种情况下, 由于每条边的权值均相等,所以两个顶点之间,经过的边数量最少,就是两个顶点的最短路径。

无权有向图依然适用这种方法。

负权边

当有负权边,但是没有负权环时,依然存在最短路径。例如下面的有向图

其中

  1. A到E的最短路径是:A→B→E
负权环

有负权环时,不存在最短路径

例如下面的无向与有向图

例如

  1. 在有向图中,顶点D,E,F构成了环,并且成环中有边的权值为负数,这种环就称为负权环。
  2. 在无向图中,顶点D,E,F同样构成了环,并且成环中有边的权值为负数,这种环依然称为负权环。

为什么有负权环就没有最短路径呢?

假设现在要计算A到E的最短路径,现在的最短路径并不是A到E,而是A→E→D→F→E,这种情况下的权重是最小的,这时的权值是-1,如果继续以环进行绕圈,路径为A→E→D→F→E→D→F→E,现在的权值是-8。如果一直循环,最终得到的权值会越来越小。所以这种情况,A到E的路径可以无限段,所以不存在最短路径。

应用场景

最短路径的经典应用场景之一:路径规划问题

求最短路径的3个经典算法:

  1. 单源最短路径算法(单源:单个起点的意思;即从一个点出发,到其他点的最短路径)
    • Dijkstra(迪杰斯特拉算法)
    • Bellman-Ford(贝尔曼-福特算法)
  2. 多源最短路径算法(多源:多个起点;即从多个起点出发,到其他点的最短路径,能把这些顶点之间,互相到达的最短路径都计算出来)
    • Floyd(弗洛伊德算法)

以上三种算法,都会在后面的内容中介绍到

完!

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