素数筛法（传统普通、朴素筛法、埃式筛法、欧拉筛法（线性筛））

1.题目

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题目描述
输入一个自然数N，按质数定义从小到大输出1~N（包含N）中所有的质数

输入描述:
输入一行，包含一个整数N
1 <= N <= 2000

输出描述:
输出一行，包含所有的质数，按照从小到大的顺序输出，以空格隔开。

示例1
输入
20
输出
2 3 5 7 11 13 17 19

2.分析

筛掉合数剩下的即为素数，下面用四种方法实现。

3.代码

传统普通

从2到n遍历，判断为素数则输出

#include    //1.普通方法
using namespace std;
bool isprime(int x)
{
    for(int i=2;i<=x/i;i++)   //此处为了防止i*i溢出  故改为i<=x/i
        if(x%i==0)
            return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(isprime(i))
            cout<<i<<" ";
    return 0;
}

朴素筛法

朴素筛法[不论质数和合数均去除i的2 3 4 …倍的数字]

#include    //2.朴素筛法[不论质数和合数均去除i的2 3 4 ...倍的数字]
using namespace std;
int main()
{
    int n;cin>>n;
    bool * p=new bool [n+1];  //只用下标从1 2 ...n的
    int * primes=new int [n];
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i]=0;         //先初始化为0
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!p[i])        //未被筛掉（即为质数）
            primes[k++]=i;
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i)   //筛掉2 3 4 ...倍数的
            p[j]=1; 
    }
    for(int i=0;i<k;i++)
        cout<<primes[i]<<" ";
    delete []primes;
    delete [] p;
    return 0;
}

朴素筛法（6.14）

#include 
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt;
void prime(int n)      //1.朴素筛法  直接筛去每个数的倍数
{
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if(!st[i])	primes[cnt++] = i;
		for (int j = i + i; j <= n; j += i)
			st[j] = true;
	}
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	prime(n);
	cout << cnt;
	return 0;
}

埃式筛法

埃式筛法（优化朴素筛法而来）[只去除质数的倍数]
(改进的版本从ii开始 ,i(i+1)…)

#include 
using namespace std;     //3.埃式筛法（优化朴素筛法而来）[只去除质数的2 3 4..倍]
int main()              //
{
    int n;
    cin>>n;
    bool * p=new bool [n+1];   //只取下标1 2 .. n的
    int * primes=new int [n];
    for(int i=1;i<=n;i++)   //初始化
        p[i]=0;
    int k=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!p[i])
        {
            primes[k++]=i;
           // for(int j=i*2;j<=n;j+=i)  //去除质数的2 3 ... 倍
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)  //进一步优化
                p[j]=1;
        }
    }
    for(int i=0;i<k;i++)
        cout<<primes[i]<<" ";
    return 0;
}

埃式筛法（6.14）

#include 
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt;
void prime(int n)     
{
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!st[i])
		{
			primes[cnt++] = i;
			for (int j = i + i; j <= n; j += i)   //去除 质数的倍数 的数字
				st[j] = true;
		}
	}
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	prime(n);
	cout << cnt;
	return 0;
}

欧拉筛法（线性筛）

欧拉筛法(每个合数只会被自己的 最小质因子 筛去)

#include  
using namespace std;         //4.欧拉筛法 [用最小质因子筛去合数]
int main()
{
    int n; cin>>n;
    bool * p=new bool [n+1];   //记录是否被筛掉
    int * primes=new int [n];
    int k=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!p[i])
            primes[k++]=i;
        for(int j=0;j<=k&&i*primes[j]<=n;j++)  //将i乘以素数序列中的每一个数筛掉
        {                            
            p[i*primes[j]]=1;
            if(i%primes[j]==0)  //当 primes[j]为i的最小质因子时
                break;
        }
    }
    for(int i=0;i<k;i++)
        cout<<primes[i]<<" ";
    return 0;
}

欧拉筛法(线性筛 6.14)

#include 
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt;
void prime(int n)     
{
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
		for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
		{
			st[primes[j] * i] = true;
			if (i % primes[j] == 0) break;    //已经被 最小质因子筛去，跳出
		}
	}
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	prime(n);
	cout << cnt;
	return 0;
}

4.总结

传统普通：时间复杂度为O(√n）
朴素筛法：时间复杂度为O(nlog_n）
埃式筛法：时间复杂度为O(nlog_(logn)）
欧拉筛法：时间复杂度为O(n）

5.更新日志

2022.5.8 整理
2022.6.14 更新

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