高等数学应试考点速览(下)

函数项级数

【收敛域】上,收敛于:【和函数】;
幂级数:绝对收敛区间 ( − R , R ) (-R,R) (R,R),(端点是否属于收敛域,需要再探讨)
R = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n a n + 1 ∣ R=\lim_{n\rightarrow \infty} |{a_n\over a_{n+1}}| R=nliman+1an
一致收敛:仅与n有关,与x无关,和收敛(于 S ( x ) S(x) S(x)
↔ lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ x ∈ I ∣ S ( x ) − s n ( x ) ∣ = 0 \leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{x\in I}|S(x)-s_n(x)|=0 nlimxIsupS(x)sn(x)=0
判定:比较、迪利克雷(一致单调+一致有界)、阿贝尔
求和后,

  • u连续,则S连续
  • s连续,则S连续
  • u黎曼可积,则S黎曼可积
  • ∫ lim ⁡ s = lim ⁡ ∫ s ( = ∫ S ) \int\lim s=\lim\int s(=\int S) lims=lims(=S)
  • u可导,若 Σu’也一致收敛,则S可导
  • ( lim ⁡ s ) ′ = lim ⁡ s ′ = S ′ = (\lim s)'=\lim s'=S'= (lims)=lims=S=
含参积分

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实质是累次积分的积分次序可交换性。
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u ∈ [ α , β ] u\in [\alpha,\beta] u[α,β];这时, ∫ f d x \int fdx fdx类似于级数的 Σ a i \Sigma a_i Σai
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