二分图最大匹配——匈牙利算法

（一）、二分图的介绍

1、定义

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

2、充要条件

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的节点数均为偶数。 没有回路时相当于节点数为零，必然为二分图。

（二）、二分图的匹配

1、二分图的最大匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中， M的边集{E}中的任意两条边都不交汇于同一个结点，则称M是一个匹配。
图中加粗的边是数量为4的匹配。

选择边数最大的子图称为最大匹配问题 。
如果一个匹配中，图的每个顶点 都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配 ，也称作完备匹配。
图中所示为最大匹配，但不是完全匹配 。

2、增广路径

交错路径：给定图G的一个匹配M，如果一条路径的边交替出现在M中和不出现在M中，我们称之为一条M-交错路径。
增广路径：如果一条M-交错路径，它的两个端点都不与M中的边关联，我们称这条路径叫做M-增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
（1）P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
（2）将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配 。
（3）M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
举个栗子：

从上图中，有五条边。我们给定2、4边是一个匹配。当然很明显，1、3、5边也是一个匹配。
我们从2、4所构成的匹配M出发，我们发现1、2、3、4、5这条路径是M的一条交错路径，同时还满足两个端点都不用M中的边有关联。
但是，我们明显知道边1、3、5是同样路径下一个更大的匹配。
所以，找最大匹配的问题可以转化为了找增广路径的问题。
接下来介绍的匈牙利算法就是用来不断寻找增广路径的算法。

3、匈牙利算法

匈牙利算法是通过不断寻找初始匹配的增广路径二一步步得出最大匹配。

（1）、复杂度

时间复杂度 邻接矩阵：最坏为O(n^3) 邻接表：O(nm)
空间复杂度 邻接矩阵： O(n^2) 邻接表：O(n+m)

（2）、算法思路

1.首先，给定一个图

我们从上图的左边开始讨论，目标是尽可能给集合B中更多的点找到配对。
注意，最大匹配是互相的，如果我们给B找到了最多的A中的对应点，同样，A中也不可能有更多的点得到匹配了。
刚开始我们一条匹配也没有，我们就可以给B1从左到右选一条边，（B1，A1）这条边，如下图。

2.接下来给B2找一个配对，（B2，A2）边，如下图。

3.接下来给B3找一个配对，与B3相连的A1已经配对，那么B3就想让与A1配对的B1放弃A1去找其它的配对。那么B1就去找A2配对，可是A2已经和B2配对了，这时B1就让B2去找其它的配对，而B2正好能找到未配对的A4。
那么皆大欢喜，这时B1和A2配对，B2和A4配对，B3和A1配对。如下图。

我们来分析B3这个匹配。
首先，我们把这次匹配牵扯到的点都拿出来（B3，A1，B1，A2，B2，A4），那么很明显，这是一条路径P。
接下来，我们在第二步中已经得到了一个匹配M，那么根据之前介绍的增广路径，我们可以知道，原来P是M的一条增广路径。
那么我们就可以得到一个比M多一条匹配的匹配M1。
4.接下来，给B4，B5各找一个配对，如下图（B4，B3）边和（B5，A5）边。

根据这个案例我们可以总结以下两点。
1.匈牙利算法寻找最大匹配，就是通过不断寻找原有匹配M的增广路径，因为找到一条M匹配的增广路径，就意味着一个更大的匹配M’ , 其恰好比M 多一条边。
2. 对于图来说，最大匹配不是唯一的，但是最大匹配的大小是唯一的。

（3）、代码实现

来到例题：牛客ZJOI2007

#include 
#include 

using namespace std;

int mapx[205][205];
bool v[205];
int c[205];
int n;

int dfs(int x)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (!v[i] && mapx[x][i])
		{
			v[i] = 1;
			if (!c[i] || dfs(c[i]))
			{
				c[i] = x;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int main()
{
	int t;

	cin >> t;

	while (t--)
	{
		cin >> n;

		memset(c, 0, sizeof (c));

		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (int j = 1; j <= n; j++)
			{
				cin >> mapx[i][j];
			}
		}

		long long k = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			memset(v, 0, sizeof (v));
			if(dfs(i)) k++;
		}
		if (k == n) cout << "Yes" << endl;
		else cout << "No" << endl;
	}
}