讨论行列式的几何意义

先给结论：行列式是线性变化的伸缩因子

 给定一个二阶行列式：

由行列式的计算方法可得：

 矩阵可表示为二维空间上的两个向量和，这两个向量可以组成一个平行四边形。

下面证明

(平行四边形)

由：

三角形的面积公式：               

 得： 

平行四边形的面积为：                                                                        

由： 

 内积计算公式：

得

 将代入平行四边形的面积公式得：

由此可以把二阶行列式理解为将面积为1的正方形伸缩变换为面积为的平行四边形（或者说D为矩阵对应的线性变换前后的面积比），正负号表示伸缩变换的方向。三阶行列式可理解为将体积为1的正方体伸缩变化为体积为的六面体。

        各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴,让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向,这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向。这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间直角坐标系 。

 因此可证明以下结论：

1.行列式与其转置行列式相等，即。

由于转置只会改变图形位置，而不会改变面积，所以

 2.对调两行（或列）行列式改变符号。

对调行或列表示将坐标轴对调，方向相反，所以会改变符号

 3.行列式某行（或列）有公因子，可以提取到行列式的外面。

将某个向量扩大（或缩小）n倍，它与其它向量所组成的平行四边形的面积也会扩大（或缩小）n倍

4.若行列式某行或列元素全为0，则该行列式值为0。 

一个向量为零，另一个向量无法围成平行四边形，因而不能算面积

5.若行列式某两行（或列）元素相同，则行列式值为0。 

6.若行列式某两行（或列）元素对应成比例，则行列式值为0。

5和6都表示两个向量重合，其余向量无法围成封闭图形，因而不能算面积（或体积）

7.行列式某行（或列）的每个元素皆为两数之和，行列式可分解为两个行列式之和。

即： 

可理解为将一次伸缩变化分解为两次伸缩变化。 

8.行列式的某行（或某列）的倍数加到另一行（或列）行，列式不变。 

由向量性质可证。