高数——(反)三角函数及求导相关公式应用

为什么会有这篇文章呢?源于一道题...

\int \frac{​{\mathrm{d} x}}{1+\sqrt{1-x^{2}}},这是一道求不定积分的课后习题。当晚在求这道题时,我和我的室友先完成了以下步骤:

x=sint

\int \frac{​{\mathrm{d} x}}{1+\sqrt{1-x^{2}}} =\int \frac{1}{1+cost}d(sint) =\int \frac{cost}{1+cost}dt =\int dt-\int \frac{1}{1+cost}dt =t-\int \frac{1}{cos^{2}\frac{t}{2}}d\frac{t}{2} =t-tan\frac{t}{2}+C

       做到这一步之后,我们突然就不知道该这么变式了,因为需要将t变回x,而tan\frac{t}{2}无法操作,只能变为t才可以,但不知道该如何转换。

       于是...我深深为自己的知识浅薄而感到羞愧。后来再想想,曾经也有许多题是因为忘记三角函数的相关转换公式而做不出来的,于是决定写篇文章整理一下,顺便帮助与我有同样境遇的同学~


三角函数

在开始讲公式之前,先列几个转换公式,对于我自己来说,这也是容易搞混的点。

1.三角函数转换

tan\alpha =\frac{1}{cot\alpha }

sin\alpha =\frac{1}{csc\alpha }

cos\alpha =\frac{1}{sec\alpha }

1+cot^{2}\alpha =csc^{2}\alpha

1+tan^{2}\alpha =sec^{2}\alpha

       主要需要记住的是下面两个公式,还要熟知上面三个转换,我还见过因为没记住csc和sec而自创出别的字母的同学,高中时不需要特别注意这两点,但这些转换到了大学还是很常见的,比如在计算不定积分、定积分的题目中,后两个公式几乎天天碰到~

2.和差公式

sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta

sin(\alpha -\beta )=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta

cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta

cos(\alpha -\beta )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta

tan(\alpha +\beta )=\frac{tan(\alpha )+tan (\beta )}{1-tan(\alpha )tan\beta }

tan(\alpha -\beta )=\frac{tan(\alpha )-tan (\beta )}{1+tan(\alpha )tan\beta }

       和差公式应该可以算是高中学过的最基本的几个公式了~(因为只有这几个是我上了大学之后还记得比较牢的公式)

       如果还有没记住的公式,一定要好好巩固!后面的很多公式都可以用这些基础的和差公式推导出来(tan的和差公式我的印象最深刻,若α和β中间是“+”号,则分子中间也为“+”号)。

3.万能公式

sin\alpha =2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}=\frac{2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}}{sin^{2}\frac{\alpha }{2}+cos^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{2tan\frac{\alpha }{2}}{tan^{2}\frac{\alpha }{2}+1}

cos\alpha =\frac{1-tan^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+tan^{2}\frac{\alpha }{2}}

tan\alpha =\frac{2tan\frac{\alpha }{2}}{1-tan^{2}\frac{\alpha }{2}}

       这三个万能公式,刚入大学我就忘得差不多了...第三个可以由tan的和差公式直接推导得出,但前两个我很少会用到。sin与cos万能公式的推导过程也是一样的,同时除以1,再同时除以cos,若是题目有需要,得出结论是很快的,并不需要硬背。

4.积化和差

sin\alpha cos\beta =\frac{sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )}{2}

cos\alpha sin\beta =\frac{sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )}{2}

cos\alpha cos\beta =\frac{cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )}{2}

sin\alpha sin\beta =-\frac{cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta )}{2}

       仔细看看,其实第一个公式和第二个公式是一样的。把第二个公式转换一下,再套入第一个公式中,得出的结论其实是一样的,不过是字母换了罢了:

cos\alpha sin\beta =sin\beta cos\alpha =\frac{sin(\beta +\alpha )+sin(\beta -\alpha )}{2}=\frac{sin(\beta +\alpha )-sin(\alpha -\beta )}{2}

       所以只需要记住第一个公式和第三第三两个公式就可以啦。

       我是怎么记的呢?给大家分享一下我的方法,我只考虑了134三个公式:如果左边既有正弦也有余弦,那右边分子上就只有正弦;如果左边只有正弦或余弦,那右边分子上就既要有正弦也要有余弦;左边正正(正弦),右边负负(符号);左边如果不是正正,右边都是正号;括号里都是一正一负。

5.和差化积

sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}

sin\alpha -sin\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}

cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}

cos\alpha -cos\beta =-2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}

       和差化积公式也是第一个公式和第二个公式是一样的:

sin\alpha -sin\beta =sin\alpha +sin(-\beta )=2sin\frac{\alpha +(-\beta) }{2}cos\frac{\alpha -(-\beta) }{2}=2sin\frac{\alpha -\beta }{2}cos\frac{\alpha +\beta }{2}

       所以也只需要记住134就好咯,根据134得出的记忆方法:左式中间的符号和右式的符号一致,左正弦,右正余;左(式)余弦,正(+)为余,负(-)为正。

6.求导公式

(tanx){}'=sec^{2}x

(cotx){}'=-csc^{2}x

(secx){}'=secxtanx

(cscx){}'=-cscxcotx

ln{}'(cosx)=-tanx

ln{}'(sinx)=cotx

       对于前四个公式只需要把它们转化成sinx和cosx就能由基础的求导公式推导啦,为了计算的方便可以记忆一下;而对于后两个,正方向的求导出现的其实不多(毕竟真的出现了也很简单!),更多的是用于倒过来告诉你右式让你求原函数,所以可以记一下右边求原函数的公式,记得求原函数的话,ln要加绝对值,即:

\int tanxdx=-ln\left | cosx \right |+C

\int cotxdx=ln\left | sinx \right |+C

7.半角公式

sin\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2}}

cos\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha }{2}}

tan\frac{\alpha }{2}=\frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }=\frac{1-cos\alpha }{sin\alpha }=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha }{1+cos\alpha }}

cot\frac{\alpha }{2}=\frac{sin\alpha }{1-cos\alpha }=\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha }{1-cos\alpha }}

       前两个公式的推导想必大家高中都学过了,由cos\alpha =2cos^{2}\frac{\alpha }{2}-1=1-2sin^{2}\frac{\alpha }{2}得出。

       tan的半角公式由sin和cos的半角公式相除得出,cot则由cos半角除以sin半角,也很好得出,就是在做题是很难想到~

       然后由sin和cos的半角公式相除得出tan半角公式:tan\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha }{1+cos\alpha }}之后,再通过上下同时乘\sqrt{1-cos\alpha }\sqrt{1+cos\alpha }得出前面两个 推导公式~

       文章开头的题目,就需要用到tan的半角公式!当时做题的时候如果我已经整理了这篇文章,我一定可以做出来/(ㄒoㄒ)/~~

       再举个简单的例子,     \int cos^{2}x=\int\frac{1+cos2x}{2} dx=\int \frac{1}{2}dx+\frac{1}{4}\int cos2xd2x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+C也是用到半角公式。

关于三角函数的几个公式就写这么多啦~主要是常见的一些,然后来看看反三角函数


反三角函数

不得不说,反三角函数一直是一个重灾区,函数很常见,但高中默认大学会教,大学默认高中学过,所以大学只好重新巩固复习这一块内容:

1.定义域与值域

y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-\frac{\pi }{2}\frac{\pi }{2}]

y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,\pi]

y=arctan(x),定义域[-∞,+∞],值域[-\frac{\pi }{2}\frac{\pi }{2}]

下面是刚入大学时我关于反三角函数做的笔记:

高数——(反)三角函数及求导相关公式应用_第1张图片

(说到这个,穿插一个反函数的公式,想起来上次做题,标准答案用到了一个我从来没见过的公式,或许是以前学的不够细:

高数——(反)三角函数及求导相关公式应用_第2张图片高数——(反)三角函数及求导相关公式应用_第3张图片

只要函数单调,上述公式就成立,图中公式里的“-1”代表“反函数”,而不是“负一次”,反函数关于y=x对称。

OK,上面只是题外补充,接着继续讲反三角函数。

2.反三角函数的相互关系

arcsinx=-arcsin(-x)

arccosx=\pi -arccos(-x)

arctanx=-arctan(-x)

arccotx=\pi -arccot(-x)

       反三角函数的相互关系与三角函数的相互关系之间的区别主要在于arccosx和arccotx上,因为它们不再是偶函数了,所以相互关系变成了:arccosx+arccos(-x)=\piarccotx+arccot(-x)=\pi

3.求导公式

(arcsinx){}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

(arccosx){}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

(arctanx){}'=\frac{1}{1+x^{2}}

(arccotx){}'=-\frac{1}{1+x^{2}}

       反函数的求导公式只需要记住arcsinx和arctanx即可,arccosx和arccotx只是加了一个负号~还是很好记忆的,只要做几道题就能记住咯

4.求原函数

\int secxdx=ln\left | secx+tanx \right |+C

\int cscxdx=ln\left | cscx-cotx \right |+C

       求原函数其实本质就是求导的反过程嘛~但是由于这种方式在题中使用次数更多,所以就单独把这两个公式单独拿出来啦~

这篇文章就先讲到这里啦,如果有打错的公式麻烦提出来噢~(毕竟那么多公式呢,可以理解!)希望对大家有所帮助!

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