代数几何：Zariski Closures、不可约簇-素理想

参考文献：Ideals, Varieties, and Algorithms (4th ed.) [Cox, Little & O’Shea 2015-06-14]

前置文章：仿射簇 和 Groebner基、消元 和 扩展、簇和理想的对应

Zariski Closures

任给一个集合$S\in k^n$，无论它是否是仿射簇，
$$I(S)=\{f\in k[x_1,\cdots ,x_n]:f(a)=0,\forall a\in S\}$$
它总是一个环$k[x_1,\cdots ,x_n]$上的根理想，于是根据 ideal–variety correspondence，$V(I(S))$是簇。

实际上，仿射簇$V(I(S))$是包含集合$S$的最小簇（smallest variety），任意的簇$W\supseteq S$都有$V(I(S))\subseteq W$

关于仿射空间（affine space）的一个子集的Zariski Closures，是包含这个集合的最小的仿射代数簇（ the smallest affifine

algebraic variety）。如果$S\subseteq k^n$，那么它的Zariski闭包定义为
$$\bar{S}=V(I(S))$$
令$S,T$都是$k^n$的子集，那么

1. $I(\bar{S})=I(S)$
2. $S\subseteq T\Rightarrow \bar{S}\subseteq \bar{T}$
3. $\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup \bar{T}$

The Closure Theorem, first part

假设$k$是代数封闭域，簇$V=V(f_1,\cdots ,f_s)\subseteq k^n$，投影映射${\pi }_l:k^n\to k^{n-l}$保持最后的$n-l$个分量，$l$次消元理想$I_l$，那么：$V(I_l)$是${\pi }_l(V)$的Zariski闭包，
$$V(I_l)=\overline{{\pi }_l(V)}$$
一般地，令$V$是簇，子集$S\subseteq V$，如果满足$V=\bar{S}$，那么称$S$是在$V$里的Zariski稠密集（Zariski dense）。因此，当域$k$是代数封闭的，集合${\pi }_l(V)$是仿射簇$V(I_l)$的Zariski稠密集。

The Closure Theorem, second part

假设$k$是代数封闭域，簇$V=V(I)\subseteq k^n$，那么存在簇$W\subseteq V(I_l)$，使得
$$V(I_l)\backslash W\subseteq {\pi }_l(V)$$
且
$$\overline{V(I_l)\backslash W}=V(I_l)=\overline{{\pi }_l(V)}$$

ideal quotients

为了给出一般性算法，来计算两个簇的差$V\backslash W$的Zariski闭包，我们做如下构造。

令$I,J$是环$k[x_1,\cdots ,x_n]$上的理想，定义理想商（the ideal quotient (or colon ideal) of $I$ by $J$）
$$I:J=\{f\in k[x_1,\cdots ,x_n]:\forall g\in J,fg\in I\}$$
可以验证$(I:J)\cdot J\subseteq I$，也就是说$I:J$收集了环中所有的使得$fJ=<f{g}_1,\cdots ,f{g}_s>\subseteq I$的那些多项式。

容易证明，理想商是理想，且$I\subseteq I:J$

1. 如果$I,J$是理想，那么

$$V(I)=V(I+J)\cup V(I:J)$$

2. 如果$V,W$是簇，那么

$$V=(V\cap W)\cup \overline{V\backslash W}$$

3. 如果$I,J$是理想，那么

$$\overline{V(I)\backslash V(J)}\subseteq V(I:J)$$

4. 假设$J_1\subseteq J_2$，那么
   $$I:J_2\subseteq I:J_1$$

注意到$V(I+J)=V(I)\cap V(J)$，那么由1和2，得到
$$V(I+J)\cup V(I:J)=(V(I)\cap V(J))\cup \overline{V(I)\backslash V(J)}$$
那么3能否取等呢？是不可以的，即使$k$是代数闭域。

例子1

令$V=V(xz,yz)$，$W=V(z)$，容易看出簇$V$是 $(x,y)-plane$ 和 $z-axis$ 的并集，而簇$W$是 $(x,y)-plane$

那么它们的差$V\backslash W$就是不含原点的 $z-axis$，容易证明它不是仿射簇。

环$k[x,y,z]$上，$<xz,yz>$除$<z>$的商
$$\begin{array}{rl}<xz,yz>:<z>& =\{f:fz\in <xz,yz>\}\\ & =\{f:fz=Axz+Byz\}\\ & =\{f:f=Ax+By\}\\ & =<x,y>\end{array}$$
因此，$V\backslash W$的Zariski闭包属于$V(x,y)$，也就是 $z-axis$。事实上，可以验证$\overline{V\backslash W}=V(x,y)$

例子2

令$I=<x^2(y-1)>$，$J=<x>$，它们都是环$C[x,y]$上的理想。

容易检验，$V(I)=V(x)\cup V(y-1)$，它是 $y-axis$ 与 $y=1$ 的并集。

容易计算，它们的差的闭包为$\overline{V(I)\backslash V(J)}=V(y-1)$

然而，计算理想商
$$\begin{array}{rl}I:J& =<x^2(y-1)>:<x>\\ & =\{f:fx=A{x}^2(y-1)\}\\ & =\{f:f=Ax(y-1)\}\\ & =<x(y-1)>\end{array}$$
有$V(I:J)=V(x(y-1))=V(x)\cup V(y-1)$，这比Zariski闭包$\overline{V(I)\backslash V(J)}=V(y-1)$严格大。

另外，如果检查$I:J^2$，会发现$\overline{V(I)\backslash V(J)}=V(I:J^2)$；也就是说需要更高的幂次，这就导致了下边的结构。

saturations

令$I,J$是环$k[x_1,\cdots ,x_n]$的理想，定义饱和度（ the saturation of $I$ with respect to $J$）
$$I:J^{\infty }=\{f\in k[x_1,\cdots ,x_n]:\forall g\in J,\exists N\ge 0,f{g}^N\in I\}$$
它是理想，并且满足：

1. $I\subseteq I:J\subseteq I:J^{\infty }$
2. 由于$J^{N+1}\subseteq J^N$，那么$I:J^N\subseteq I:J^{N+1}$，根据ACC，对于所有充分大的$N$，有$I:J^{\infty }=I:J^N$
3. $\sqrt{I:J^{\infty }}=\sqrt{I}:J$

令$I,J$是环$k[x_1,\cdots ,x_n]$的理想，那么

1. $V(I)=V(I+J)\cup V(I:J^{\infty })$
2. $\overline{V(I)\backslash V(J)}\subseteq V(I:J^{\infty })$
3. 如果$k$是代数封闭的，那么$V(I:J^{\infty })=\overline{V(I)\backslash V(J)}$
4. 如果$k$是代数封闭的，且$I$是根理想，那么$V(I:J)=\overline{V(I)\backslash V(J)}$
5. 对于任意域$k$，簇$V,W\subseteq k^n$，那么$I(V):I(W)=I(V\backslash W)$

因此，只要$k$是代数闭域，那么Zariski闭包$\overline{V(I)\backslash V(J)}$是容易求的，它就是被理想$I:J^{\infty }$定义的仿射簇。当$I$还是根的，那么直接就是被理想商$I:J$定义的仿射簇。

令$I,J$是环$k[x_1,\cdots ,x_n]$的理想，那么

1. $I:k[x_1,\cdots ,x_n]=I:k[x_1,\cdots ,x_n{]}^{\infty }=I$
2. $J\subseteq I⟺I:J=k[x_1,\cdots ,x_n]$
3. $J\subseteq \sqrt{I}⟺I:J^{\infty }=k[x_1,\cdots ,x_n]$

令$I,J_1,\cdots ,J_r$是环$k[x_1,\cdots ,x_n]$的理想，那么
$$I:\left(\sum _{i=1}^r{J}_i\right)=\bigcap _{i=1}^r(I:J_i)$$

$$I:{\left(\sum _{i=1}^r{J}_i\right)}^{\infty }=\bigcap _{i=1}^r(I:J_i^{\infty })$$

令$I_1,\cdots ,I_r,J$是环$k[x_1,\cdots ,x_n]$的理想，那么
$$\left(\bigcap _{i=1}^r{I}_i\right):J=\bigcap _{i=1}^r(I_i:J)$$

$$\left(\bigcap _{i=1}^r{I}_i\right):J^{\infty }=\bigcap _{i=1}^r(I_i:J^{\infty })$$

令$I$是环$k[x_1,\cdots ,x_n]$的理想，$g$是环元素，那么

1. 如果$\{h_1,\cdots ,h_p\}$是理想$I\cap <g>$的一组基，那么$\{h_1/g,\cdots ,h_p/g\}$是理想商$I:g$的一组基

2. 如果$\{f_1,\cdots ,f_s\}$是理想$I$的一组基，令$\tilde{I}=<f_1,\cdots ,f_s,1-yg>\subseteq k[x_1,\cdots ,x_n,y]$，那么
   $$I:g^{\infty }=\tilde{I}\cap k[x_1,\cdots ,x_n]$$

algorithm for computing a basis of an ideal quotient：

1. 给定理想$I=<f_1,\cdots ,f_r>$，$J=<g_1,\cdots ,g_s>$，为了计算$I:J$，首先计算$I:g_i$
2. 针对每个$i$，利用algorithm for computing intersections of ideals，计算$I\cap <g_i>$的一组基$\{h_1,\cdots ,h_p\}$
3. 然后做除法，$\{h_1/g_i,\cdots ,h_p/g_i\}$就是$I:g_i$的一组基
4. 继续利用algorithm for computing intersections of ideals，迭代$s-1$次，计算出$I:J=(I:g_1)\cap \cdots \cap (I:g_s)$

algorithm for computing a basis of a saturation：

1. 给定理想$I=<f_1,\cdots ,f_r>$，$J=<g_1,\cdots ,g_s>$，为了计算$I:J^{\infty }$，首先计算$I:g_i^{\infty }$
2. 针对每个$i$，构造$\tilde{I}=<f_1,\cdots ,f_s,1-y{g}_i>$，计算它的一组Groebner基$G$，字典序$y>x_1>\cdots >x_n$
3. 然后$G^{\prime }=G\cap k[x_1,\cdots ,x_n]$就是$I:g_i^{\infty }$的一组基
4. 利用algorithm for computing intersections of ideals，迭代$s-1$次，计算出$I:J^{\infty }=(I:g_1^{\infty })\cap \cdots \cap (I:g_s^{\infty })$

Irreducible Varieties

不可约簇、素理想

不可约簇：仿射簇$V\subseteq k^n$是不可约的（Irreducible），如果$V=V_1\cup V_2$，且$V_1,V_2$是仿射簇，那么$V_1=V$或者$V_2=V$

素理想：理想$I\subseteq k[x_1,\cdots ,x_n]$是素的（prime），如果$fg\in I$，那么$f\in I$或者$g\in I$。容易验证，素理想都是根理想。

一个簇$V$是不可约的$⟺$对于任意的簇$W⊊V$都有$\overline{V\backslash W}=V$，即$V\backslash W$是$V$的Zariski稠密集。

对应关系：

1. 仿射簇$V\subseteq k^n$是不可约的$⟺I(V)$是素理想。
2. 若$k$是代数封闭的，那么$I$和$V$给出了不可约簇以及素理想之间的一一对应。

如果$k$是无限域，簇$V\subseteq k^n$是 polynomial parametrization 定义的，
$$x_i=f_i(t_1,\cdots ,t_m),1\le i\le n$$
其中$f_i\in k[t_1,\cdots ,t_m]$，那么簇$V$是不可约的。

proof：

首先定义函数
$$F(t_1,\cdots ,t_m)=(f_1(t_1,\cdots ,t_m),\cdots ,f_n(t_1,\cdots ,t_m))$$
那么复合映射$g\circ F$​可以表示为“plugging the polynomials

$f_i$ into $g$”，
$$g\circ F=g(f_1(t_1,\cdots ,t_m),\cdots ,f_n(t_1,\cdots ,t_m))$$
由于$k$是无限的，那么
$$I(V)=\{g\in k[x_1,\cdots ,x_n]:g\circ F=0\}$$
如果$gh\in I(V)$，那么$(gh)\circ F=(g\circ F)(h\circ F)=0$，无零因子环导致其中必然有一个因子为零，于是$g\in I(V)$或者$h\in I(V)$，即$I(V)$是素理想，从而$V$是不可约簇。

类似的，如果$k$​是无限域，簇$V\subseteq k^n$​是 rational parametrization 定义的，
$$x_i=\frac{f_i(t_1,\cdots ,t_m)}{g_i(t_1,\cdots ,t_m)},1\le i\le n$$
其中$f_i,g_i\in k[t_1,\cdots ,t_m]$，那么簇$V$是不可约的。

单簇、极大理想

单簇：仿射簇$V\subseteq k^n$是单的（simplest），如果它只包含一个点，即$V=\{(a_1,\cdots ,a_n)\}$，可由常数参数多项式$f_i(t_1,\cdots ,t_m)=a_i$所定义。

极大理想：一个真的（proper）理想$I\subseteq k[x_1,\cdots ,x_n]$是极大的（maximal），如果任意的理想$J\supseteq I$，要么$J=I$要么$J=k[x_1,\cdots ,x_n]$。容易验证，极大理想都是素理想。

如果$k$是任意域，理想$I\subseteq k[x_1,\cdots ,x_n]$有如下形式
$$I=<x_1-a_1,\cdots ,x_n-a_n>$$
其中$a_i\in k$，那么$I$是极大理想。逆命题不成立。

如果$k$是代数闭域，那么环$k[x_1,\cdots ,x_n]$中任意的极大理想都有如下形式
$$I=<x_1-a_1,\cdots ,x_n-a_n>$$
其中$a_i\in k$，这是上述逆命题。

对应关系：若$k$是代数封闭的，那么$I$和$V$给出了$k^n$上的单簇以及$k[x_1,\cdots ,x_n]$上的极大理想之间的一一对应。