举例:
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式
中缀表达式(中缀记法)
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法,操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式,但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的,因此计算表达式的值时,通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式,然后再进行求值。对计算机来说,计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式(前缀记法、波兰式)
前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值:
从右至左扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(栈顶元素 op 次顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”:
(1) 从右至左扫描,将6、5、4、3压入堆栈;
(2) 遇到+运算符,因此弹出3和4(3为栈顶元素,4为次顶元素,注意与后缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3) 接下来是×运算符,因此弹出7和5,计算出7×5=35,将35入栈;
(4) 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。
可以看出,用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
将中缀表达式转换为前缀表达式:
遵循以下步骤:
(1) 初始化两个栈:运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
(2) 从右至左扫描中缀表达式;
(3) 遇到操作数时,将其压入S2;
(4) 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1) 如果S1为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;
(4-2) 否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入S1;
(4-3) 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5) 遇到括号时:
(5-1) 如果是右括号“)”,则直接压入S1;
(5-2) 如果是左括号“(”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6) 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最左边;
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8) 依次弹出S2中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下:
扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
5 | 5 | 空 | 数字,直接入栈 |
- | 5 | - | S1为空,运算符直接入栈 |
) | 5 | - ) | 右括号直接入栈 |
4 | 5 4 | - ) | 数字直接入栈 |
× | 5 4 | - ) × | S1栈顶是右括号,直接入栈 |
) | 5 4 | - ) × ) | 右括号直接入栈 |
3 | 5 4 3 | - ) × ) | 数字 |
+ | 5 4 3 | - ) × ) + | S1栈顶是右括号,直接入栈 |
2 | 5 4 3 2 | - ) × ) + | 数字 |
( | 5 4 3 2 + | - ) × | 左括号,弹出运算符直至遇到右括号 |
( | 5 4 3 2 + × | - | 同上 |
+ | 5 4 3 2 + × | - + | 优先级与-相同,入栈 |
1 | 5 4 3 2 + × 1 | - + | 数字 |
到达最左端 | 5 4 3 2 + × 1 + - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。
后缀表达式(后缀记法、逆波兰式)
后缀表达式与前缀表达式类似,只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式的计算机求值:
与前缀表达式类似,只是顺序是从左至右:
从左至右扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(次顶元素 op 栈顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最右端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”:
(1) 从左至右扫描,将3和4压入堆栈;
(2) 遇到+运算符,因此弹出4和3(4为栈顶元素,3为次顶元素,注意与前缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3) 将5入栈;
(4) 接下来是×运算符,因此弹出5和7,计算出7×5=35,将35入栈;
(5) 将6入栈;
(6) 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式:
与转换为前缀表达式相似,遵循以下步骤:
(1) 初始化两个栈:运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
(2) 从左至右扫描中缀表达式;
(3) 遇到操作数时,将其压入S2;
(4) 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1) 如果S1为空,或栈顶运算符为左括号“(”,则直接将此运算符入栈;
(4-2) 否则,若优先级比栈顶运算符的高,也将运算符压入S1(注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同,而这里则不包括相同的情况);
(4-3) 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5) 遇到括号时:
(5-1) 如果是左括号“(”,则直接压入S1;
(5-2) 如果是右括号“)”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到左括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6) 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最右边;
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8) 依次弹出S2中的元素并输出,结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式(转换为前缀表达式时不用逆序)。
例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下:
扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
1 | 1 | 空 | 数字,直接入栈 |
+ | 1 | + | S1为空,运算符直接入栈 |
( | 1 | + ( | 左括号,直接入栈 |
( | 1 | + ( ( | 同上 |
2 | 1 2 | + ( ( | 数字 |
+ | 1 2 | + ( ( + | S1栈顶为左括号,运算符直接入栈 |
3 | 1 2 3 | + ( ( + | 数字 |
) | 1 2 3 + | + ( | 右括号,弹出运算符直至遇到左括号 |
× | 1 2 3 + | + ( × | S1栈顶为左括号,运算符直接入栈 |
4 | 1 2 3 + 4 | + ( × | 数字 |
) | 1 2 3 + 4 × | + | 右括号,弹出运算符直至遇到左括号 |
- | 1 2 3 + 4 × + | - | -与+优先级相同,因此弹出+,再压入- |
5 | 1 2 3 + 4 × + 5 | - | 数字 |
到达最右端 | 1 2 3 + 4 × + 5 - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”(注意需要逆序输出)。
下面给出一个后缀表达式带传参的例子:
// ConsoleApplication5.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include "stdafx.h"
#include
#include
// 使用后缀表达式
class Formula
{
public:
Formula(const string& strFormula)
{
m_strFormula = strFormula;
}
// 输出后缀表达式,测试用
void PrintSuffix()
{
// 后缀需要逆序
while(!m_vSuffix.empty())
{
printf("%s", m_vSuffix.top().c_str());
m_vSuffix.pop();
}
printf("\n");
}
// 生成后缀表达式
bool ProduceSuffix()
{
stack
size_t iLen = m_strFormula.length();
size_t iPos = 0;
while(iPos < iLen)
{
// 判断是不是运算符
if(IsSymbol(m_strFormula[iPos]))
{
bool bFlag = true;
while(bFlag)
{
bFlag = false;
if(vSymbols.empty() || GetPriority(m_strFormula[iPos]) > GetPriority(vSymbols.top()[0]) || 999 == GetPriority(vSymbols.top()[0]))
{
string strTem;
strTem.push_back(m_strFormula[iPos]);
vSymbols.push(strTem);
}
else if(-999 == GetPriority(m_strFormula[iPos])) // 如果是')',弹出符号到vValues中
{
while(GetPriority(vSymbols.top()[0]) != 999) // 一直到'('为止
{
vValues.push(vSymbols.top());
vSymbols.pop();
}
// 将‘(’也弹出
vSymbols.pop();
}
else
{
vValues.push(vSymbols.top());
vSymbols.pop();
bFlag = true;
}
}
++iPos;
}
else if(m_strFormula[iPos] == '#') // 需要传参
{
string strTem;
for(;iPos < iLen && !IsSymbol(m_strFormula[iPos]);iPos++)
{
strTem.push_back(m_strFormula[iPos]);
}
vValues.push(strTem);
}
else // 数值
{
if(!IsDigital(m_strFormula[iPos]))
{
return false;
}
string strTem;
for(;iPos < iLen && IsDigital(m_strFormula[iPos]);iPos++)
{
strTem.push_back(m_strFormula[iPos]);
}
vValues.push(strTem);
}
}
while(!vSymbols.empty())
{
vValues.push(vSymbols.top());
vSymbols.pop();
}
// 后缀需要逆序
while(!vValues.empty())
{
m_vSuffix.push(vValues.top());
vValues.pop();
}
return true;
}
// 计算结果
bool GetResult(double& fResult)
{
stack
while(!m_vSuffix.empty())
{
if(IsSymbol(m_vSuffix.top()[0]))
{
if(vValues.size() < 2)
{
return false;
}
double fTem = 0.0f;
double fValue1 = vValues.top();
vValues.pop();
double fValue2 = vValues.top();
vValues.pop();
switch (m_vSuffix.top()[0])
{
case '+':
fTem = fValue1 + fValue2;
break;
case '-':
fTem = fValue2 - fValue1;
break;
case '*':
fTem = fValue2 * fValue1;
break;
case '/':
fTem = fValue2 / fValue1;
break;
default:
return false;
}
vValues.push(fTem);
}
else
{
if(m_vSuffix.top()[0] == '#')
{
auto it = m_mapParameters.find(m_vSuffix.top());
if(it == m_mapParameters.end())
{
return false;
}
vValues.push(it->second);
}
else
{
vValues.push(atof(m_vSuffix.top().c_str()));
}
}
m_vSuffix.pop();
}
if(vValues.size() != 1)
{
return false;
}
fResult = vValues.top();
return true;
}
// 传参,传参标识以#号标识,#parameter
void InputParameter(string strParameterName, double fValue)
{
string strTem = "#";
strTem += strParameterName;
m_mapParameters[strTem] = fValue;
}
private:
// 判断是否为符号
bool IsSymbol(char s)
{
if(s == '+' || s == '-' || s == '*' || s == '/' || s == '(' || s == ')')
return true;
else
return false;
}
// 是否为数字
bool IsDigital(char s)
{
if(s == '.')
{
return true;
}
if(s >= '0' && s <= '9')
{
return true;
}
return false;
}
// 获得符号的优先级
int GetPriority(char s)
{
switch(s)
{
case '+':
case '-':
return 1;
case '*':
case '/':
return 2;
case '(':
return 999;
case ')':
return -999;
default:
return -1;
}
}
private:
string m_strFormula;
stack
map
};
int main()
{
Formula* pFormula = new Formula("1+((2+3)*4)-#dffd5");
pFormula->ProduceSuffix();
//pFormula->PrintSuffix();
pFormula->InputParameter("dffd5", 11);
double a;
bool b = pFormula->GetResult(a);
getchar();
return 0;
}