【洛谷 P1122】最大子树和 题解（深度优先搜索+树形DP）

最大子树和

题目描述

小明对数学饱有兴趣，并且是个勤奋好学的学生，总是在课后留在教室向老师请教一些问题。一天他早晨骑车去上课，路上见到一个老伯正在修剪花花草草，顿时想到了一个有关修剪花卉的问题。于是当日课后，小明就向老师提出了这个问题：

一株奇怪的花卉，上面共连有 $N$ 朵花，共有 $N-1$ 条枝干将花儿连在一起，并且未修剪时每朵花都不是孤立的。每朵花都有一个“美丽指数”，该数越大说明这朵花越漂亮，也有“美丽指数”为负数的，说明这朵花看着都让人恶心。所谓“修剪”，意为：去掉其中的一条枝条，这样一株花就成了两株，扔掉其中一株。经过一系列“修剪“之后，还剩下最后一株花（也可能是一朵）。老师的任务就是：通过一系列“修剪”（也可以什么“修剪”都不进行），使剩下的那株（那朵）花卉上所有花朵的“美丽指数”之和最大。

老师想了一会儿，给出了正解。小明见问题被轻易攻破，相当不爽，于是又拿来问你。

输入格式

第一行一个整数 $n(1\le N\le 16000)$。表示原始的那株花卉上共 $n$ 朵花。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示第 $i$ 朵花的美丽指数。

接下来 $n-1$ 行每行两个整数 $a,b$，表示存在一条连接第 $a$ 朵花和第 $b$ 朵花的枝条。

输出格式

一个数，表示一系列“修剪”之后所能得到的“美丽指数”之和的最大值。保证绝对值不超过 $2147483647$。

样例 #1

样例输入 #1

7
-1 -1 -1 1 1 1 0
1 4
2 5
3 6
4 7
5 7
6 7

样例输出 #1

3

提示

数据范围及约定

• 对于 $60\%$ 的数据，有 $1\le N\le 1000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，有 $1\le N\le 16000$。

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思路

首先读入树的信息，然后调用 dfs 函数对每个节点进行遍历。在 dfs 函数中，采用递归的方式进行搜索，每次尝试从当前节点 x 跳跃到下一个节点 edge[i].to，其中 fa 表示 x 的父节点，因为在树的遍历过程中，需要避免返回到父节点。

状态转移方程：

dp[x] = node[x].w;
if (dp[edge[i].to] > 0)
{
    dp[x] += dp[edge[i].to];
}

在跳跃到下一个节点之后，需要递归遍历它的子树，并计算出以它为根节点的子树的权值之和，即 dp[edge[i].to]。然后根据 dp[edge[i].to] 的值，更新 dp[x] 的值，即为当前子树的权值之和。注意，如果 dp[edge[i].to] 的值小于等于 0，则不需要将它的值加到 dp[x] 中，因为对于子树的权值之和，只有大于 0 的部分才有贡献。

最后，遍历所有节点，找到其中权值之和最大的子树，即为最终答案。

---

AC代码

#include 
#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 100005;

int dp[N];
int ans;

// 链式前向星
struct Sedge
{
    int to;
    int next;
} edge[N];

struct Snode
{
    int w;
    int next;
} node[N];
int cnt = 0;

void add(int u, int v)
{
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].next = node[u].next;
    node[u].next = cnt++;
}

void read(int &x)
{
    char ch;
    x = 0;
    int f = 1;
    while (!('0' <= ch && ch <= '9'))
    {
        if ('-' == ch)
        {
            f = -1;
        }
        ch = getchar();
    }
    while (('0' <= ch && ch <= '9'))
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    x *= f;
}

void dfs(int x, int fa)
{
    // 初始化
    dp[x] = node[x].w;
    // cout << x << endl;
    for (int i = node[x].next; ~i; i = edge[i].next)
    {
        // 不访问父节点
        if (edge[i].to == fa)
        {
            continue;
        }
        dfs(edge[i].to, x);
        // 状态转移
        if (dp[edge[i].to] > 0)
        {
            dp[x] += dp[edge[i].to];
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int t;
        read(t);
        node[i].w = t;
        node[i].next = -1;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int u, v;
        read(u);
        read(v);
        add(u, v);
        add(v, u);
    }
    ans = node[1].w;
    dfs(1, -1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}