超椭圆积分与阿贝尔定理
椭圆积分和椭圆函数的成功激励数学家处理一种更难的积分：超椭圆积分。
超椭圆积分具有形式，其中R(x,y)是x,y的有理函数，y^2=P(x),P(x)的次数至少为5，19世纪中期把P(x)为五次或六次的积分称为超椭圆积分，为了强调复值，常记为，u是z的一个多值函数。有些积分处处有穷，如
u为偶数p=(n-2)/2，u为奇数p=(n-1)/2，对n=6（p=2）有两类积分：第一类是处处有穷因而无奇点的积分，可以借助线性无关的p个积分（上图中式子）表示，第二类是形如
对n=6，第一类和第二类积分均有四个周期。超椭圆积分是上限z的函数，假设下限固定，用w表示这个函数，类似椭圆积分，可以研究w的反函数z。阿贝尔提出了问题，但没有解决，雅可比考虑特殊的超椭圆积分
经验证明将z确定为w的单值函数是行不通的，事实上雅可比证明对五次的P(x)，这种积分的单纯反演并不能得到一个单演函数，他认为反函数是不合理的，因为每种情形下z作为w的函数是无穷多值的，而当时大家不太理解这种函数。
雅可比考虑了这种积分的组合，根据阿贝尔定理（当时大部分内容已发表），考虑方程：
他证明，对称函数z1+z2和z1z2都是w1和w2的单值函数，具有四个周期的一个系统，于是得到两个变数w1,w2的函数z1,z2，他还给出这些函数的加法定理。他遗留了很多不完全之处，没有做到高斯那样的严密性。
伽罗瓦开始了推广椭圆和超椭圆积分的研究，不过阿贝尔在1826年论文中提出了较重要的开创性步骤。前面说到阿贝尔考虑，原先u和z由一个多项式如u^2=P(z)联系，现在阿贝尔考虑一个一般的含z和u的代数方程f(u,z)=0，由此定义一个阿贝尔积分，它包含椭圆和超椭圆积分作为特殊情形。虽然阿贝尔没有深入推进阿贝尔积分的研究工作，但他证明了一个关键性定理。阿贝尔基本定理是椭圆积分加法定理的推广，他在1826年巴黎论文中提出定理并证明，考虑积分，x,y由方程f(x,y)=0联系，f为x和y的多项式，x,y是实变数（偶尔以复数出现），非严谨地叙述如下：几个具有形式如上的积分之和可以用p个这样的积分加上一些代数与对数的项表示出来，另外数p只依赖于方程f(x,y)=0，事实上它是这个方程的亏格。
为了得到精确叙述，设y是x的代数函数：
设R(x,y)是x和y的任一有理函数，则任何m个相似积分之和
可以用x1,y1,...,xm,ym的有理函数与这种有理函数的对数加上p个积分
之和表示，其中z1,...,zp是x的值，可从x1,y1,...,xm,ym作为一个代数方程的根确定，这个方程的系数是x1,y1,...,xm,ym的有理函数，而s1,..sp是由f(x,y)=0确定相应y值，任一si可以确定为zi及x1,y1,..,xm,ym的有理函数（我晕,si是值还是函数），这样用(x1,y1)...(xm,ym)确定(z1,s1),...,(zp,sp)的关系必须假定在积分的各阶段都成立，特别是这些关系确定出后面p个积分的下限，用开始的m个积分的下限表示。数p不依赖于m，不依赖于有理函数R(x,y)的形式，也不依赖于x1,y1,...,xm,ym的值，而是依赖于联系x,y的方程f(x,y)=0
当f=y^2-P(x)，R(x)是一个六次多项式,p=(n-2)/2=2的超椭圆积分时，阿贝尔定理主要说
阿贝尔对一般的f(x,y)=0的少数几种情形计算了数p，虽然他没意识到结果的全部意义，但他在黎曼之前认识到亏格的概念并建立了阿贝尔积分的概念，他的论文很难懂，部分是由于他试图用实际计算结果来证明我们今天称为存在定理的东西。后来的证明极大地简化了阿贝尔的证明，阿贝尔没有考虑反问题，在黎曼出现前，所有关于超椭圆积分和阿贝尔积分的反演工作都因为处理多值函数方法有局限性而受阻。