第二类拉格朗日方程及首次积分

Lagrange方程推导

前置知识

动力学普遍方程

拉格朗日方程

设个质点组成的质点系具有完整约束，其自由度为，则任意给定时刻确定该质点系位置的个坐标可由个广义坐标唯一确定，即

化成矢量形式

将式两边对时间求导，得

其中，称为广义速度，与广义坐标一同相互独立，且为时间的单值连续函数。

式两边对广义速度求偏导，得

式两边对广义坐标求偏导，得
$\begin{aligned} \frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j} &= \frac{\partial }{\partial q_j}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_1})\dot q_1+\cdots+\frac{\partial }{\partial q_j}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_k})\dot q_k+\frac{\partial }{\partial q_j}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t})\\ &=\frac{\partial}{\partial q_1}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j})\dot q_1+\cdots+\frac{\partial}{\partial q_k}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j})\dot q_k+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_1})\\ &=\frac{d}{dt}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}) \end{aligned} \tag5$
上述推导过程中利用了连续函数求偏导过程中可以交换求偏导顺序，以及式的形式。

取式的变分（虚位移），由于时间固定，所以，得

应用虚位移原理的相关知识，我们可以得到

其中是对应于广义坐标的广义力，具有以下形式

观察式中的第二项
$\begin{aligned} \sum^n_{i=1}\pmb F_{Ii} \cdot \delta \pmb r_i&=\sum^n_{i=1}(-m_i \pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i \\ &=\sum^n_{i=1}(-m_i\frac{d\pmb v_i}{dt})\cdot \sum^k_{j=1}\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j} \delta q_j \space\space\space (i和j相互独立)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum^k_{j=1}(-m_i\frac{d\pmb v_i}{dt}\cdot\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j} \delta q_j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum^k_{j=1}[-m_i(\frac{d\pmb v_i}{dt}\cdot\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}+\pmb v_i\cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}))+m_i\pmb v_i\cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j})]\delta q_j\\ &=\sum_{i=1}^n\sum^k_{j=1}[-m_i\frac{d}{dt}(\pmb v_i\cdot\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}) +m_i\pmb v_i\cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j})]\delta q_j\\ &=\sum_{i=1}^n\sum^k_{j=1}[-m_i\frac{d}{dt}(\pmb v_i\cdot\frac{\partial \pmb v_i}{\partial \dot q_j}) +m_i\pmb v_i\cdot \frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}]\delta q_j \space\space\space (应用式(4)及式(5))\\ &=-\sum^n_{i=1}\sum^k_{j=1}[\frac{d}{dt}(\frac{\partial (\frac{1}{2}m_i\pmb v_i \cdot \pmb v_i)}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial (\frac{1}{2}m_i \pmb v_i\cdot \pmb v_i)}{\partial q_j}]\delta q_j \end{aligned}$
其中，是质点系的动能，记为，则有
$\sum^n_{i=1}\pmb F_{Ii} \cdot \delta \pmb r_i=\sum^n_{i=1}(-m_i \pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i=\sum^k_{j=1}[-\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j})+\frac{\partial T}{\partial q_j}]\delta q_j =\sum^k_{j=1}Q^*_j\delta q_j$
其中

称为对应广义坐标的广义惯性力。于是广义坐标下动力学基本方程表示为

由于相互独立，得

受理想约束的质点系在运动时，对应各广义坐标的广义力与广义惯性力平衡（虚位移原理：受理想约束的质点系在静止时，对应各广义坐标的广义力为零）。微分方程形式如下：

上式称为第二类拉格朗日方程，简称拉格朗日方程。

若主动力全部是有势力，记系统的势能函数为，则对应于广义坐标的广义力为

由于，故式转化为

记，称为拉格朗日函数或动势。势力场中的拉格朗日方程写为

若主动力只是部分有势，则将有势力记入拉格朗日函数，其他的非有势力单独计算其广义力，拉格朗日方程形式如下：

其中是非有势力对应的广义力。

广义力求法

直接利用定义式。

虚位移法。为求得广义坐标对应的广义力，可以沿着广义坐标增大的方向取特殊的虚位移，而其余的，求出所有主动力（非有势力）在该虚位移上所做的虚功，则应有

拉格朗日方程的首次积分

由上面的推导我们可以看到，拉格朗日方程是一组二阶常微分方程，为了方便求解，对于某些系统，可以利用系统的相关特性给出某些首次积分。

首先观察质点系的动能
$\begin{aligned} T{}&=\sum^n_{i=1}\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot\pmb v_i\\ &=\sum^n_{i=1}\frac{1}{2}m_i(\sum^k_{j=1}\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\dot q_j+\frac{\partial \pmb r_i} {\partial t})\cdot(\sum^k_{l=1}\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_l}\dot q_l+\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t})\\ &=\sum^n_{i=1}\frac{1}{2}m_i(\sum^k_{j=1}\sum^k_{l=1}\frac{\partial\pmb r_i}{\partial q_j}\cdot\frac{\partial\pmb r_i}{\partial q_j}\dot q_j\dot q_l)+ \sum^n_{i=1}m_i(\sum^k_{j=1}\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\cdot\frac{\partial\pmb r_i}{\partial t}\dot q_j)+\sum^n_{i=1}\frac{1}{2}m_i(\frac{\partial \pmb r_i} {\partial t}\cdot\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}) \end{aligned}$
由此，将质点系的动能划分为三个部分：广义速度的二次齐次函数，记为；广义速度的一次齐次函数，记为；广义速度的零次齐次函数，记为。即。

齐次函数：把函数的自变量乘以一个因子，因变量相当于原函数乘以的幂。定义函数为次齐次函数，则

齐次函数的欧拉定理：对于次齐次函数，有

在上述符号系统下，拉格朗日方程，具有以下形式

对于形如式的方程，如果存在一个函数，在将方程的解代入其中后，有

则称为方程（组）的一个首次积分（也称第一积分）。

循环积分

一般，拉格朗日函数可能不会显含某些广义坐标，此时可以得到循环积分，中显缺的广义坐标称为循环坐标。

设质点系的后个坐标是循环坐标，则有

由拉格朗日方程，得

可得

此为质点系得拉格朗日方程的循环积分，称为对应于广义坐标的广义动量。循环积分的物理意义：对应于循环坐标的广义动量守恒。

在上述推导过程中默认不存在非有势力，而当存在非有势力时，只需考虑在某个循环坐标上非有势力的广义力为零的情况即可。

能量积分

如果在拉格朗日函数中不显含时间，即。有

当主动力均为有势力时，由拉格朗日方程得，，代入上式得

由此得

故

由及齐次函数的欧拉定理，有

最后得到首次积分

该积分表示质点系部分能量的关系，称为广义能量积分，常出现在相对于非惯性系运动的质点系中。

参考资料：《理论力学（第二版）》（谢传锋王琪主编）