计算机图形学、贝塞尔曲线及绘制方法、反走样问题的解决（附完整代码）

（本篇为作者学习计算机图形学时根据作业所撰写的笔记， 如有同课程请勿Crtl+c/v ）

1. 本次作业实现的函数及简单描述（详细代码见后）

这一块主要介绍本次主要实现的几个函数及其功能

1.bezier(const std::vector &control_points, cv::Mat &window)

可以绘制不止四个点的贝塞尔函曲线，并且处理了反走样问题
升级版： 利用距离比例，进行像素点的判别，解决贝塞尔曲线的反走样问题

2.recursive_bezier(const std::vector &control_points, float t)

根据已有的点vector和给定的t值， 计算出来给定t值对应到贝塞尔曲线上的坐标点

2. 与本次作业有关的基础知识整理

这一部分主要介绍一些跟贝塞尔曲线有关的前置知识，以及贝塞尔曲线的画法

贝塞尔曲线：

Bézier curve(贝塞尔曲线) 是应用于二维图形应用程序的数学曲线。

贝塞尔曲线基础定义：

只要求一定经过起止点，起止点之间的若干控制点用于控制曲线弯曲的方向，最终形成一条经过起止点的光滑曲线被称为贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线是线性插值的结果 ： “选出两点之间的一个点”

P(t) = P0 + (P1−P0) = (1−t)P0 + t**P1, t∈[0,1] t=P0P1/P0P1

根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一阶贝塞尔曲线（0个控制点）、二阶贝塞尔曲线（1个控制点）、三阶贝塞尔曲线（2个控制点）等等。（本次实验用到的是三阶贝塞尔曲线（2个控制点））

二阶贝塞尔曲线：

三阶贝塞尔曲线（本次作业需要实现的曲线）

对于贝塞尔曲线，最重要的点是数据点和控制点

数据点： 指一条路径的起始点和终止点。
控制点：控制点决定了一条路径的弯曲轨迹

贝塞尔曲线特点：

特点一： 曲线通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于始点和终点，中间点将曲线拉向自己。
特点二： 平面离散点控制曲线的形状，改变一个离散点的坐标，曲线的形状将随之改变（点对曲线具有整体控制性）。
特点三： 曲线落在特征多边形的凸包之内，它比特征多边形更趋于光滑。

特点四： 起始点的方向为响应控制点的切线方向

逐段贝塞尔曲线：

当控制点太多会影响控制点的效果的时候， 我们选择每四个控制点定义一条贝塞尔曲线，然后再将他们连接起来

常见应用场景：

计算机辅助设计和计算机辅助制造应用（CAD/CAM），Adobe Illustrator, Photoshop, Inkscape, Gimp等等。还可以应用在一些图形技术中，像矢量图形（SVG），所以说在可视化学习的重要基础知识。

基本绘制方法： 德卡斯特里奥算法

• 引入参数t (范围为 0~1)
• 取b0到b1, b1到b2上t位置上的点b0’,b1’
• 将b0’,b1’ 连接，取b0’到b1’上t位置上的点b0’’
• 将所有t∈（0，1） 的点都便利一遍相连即可得到贝塞尔曲线
• 若有n个控制点则将上面步骤进行递归操作直到找到最后bn’

解决反走样问题

程序在进行画线时是以点的形式，如果放大有较为明显的不连续，因此可以采用反走样来使其平滑过渡;

对于每一个点，其必然会包含在一个像素之中，可按照比例和着色进行插值，以求得一个较为平滑的过渡;

如下图所示，该点一定会在下图所示的黄色方框内部，而该点离像素点的最远距离为根号2，按照该点到其他四个点的距离进行插值；

3. 代码描述（详细）

这一部分主要介绍实现贝塞尔曲线的各个函数的功能，以及注意要点

de Casteljau的算法来计算贝塞尔曲线的点（步骤如下）

• 计算点的总个数
• 判断点的个数，只有一个点直接返回，多个点的话进行计算
• 递归计算多个点t值对应的贝塞尔曲线上的点，直到计算到最后一个点

cv::Point2f recursive_bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, float t) 
{
    // TODO: Implement de Casteljau's algorithm
    int n = control_points.size();
    if (n == 1) return control_points[0];
    std::vector<cv::Point2f> res_control_points;

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        res_control_points.push_back(cv::Point2f(
            (1 - t) * control_points[i].x + t * control_points[i + 1].x,
            (1 - t) * control_points[i].y + t * control_points[i + 1].y));
    }
    return recursive_bezier(res_control_points, t);
}

基础版贝塞尔： (简单的将所给点画出)

• 对每个t值循环计算出来对应的点然后进行绘制

void bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, cv::Mat &window) 
{
    // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's 
    // recursive Bezier algorithm.
    for (double t = 0.0; t <= 1.0; t += 0.001)  // 循环得到点，并记录输出
    {
        cv::Point2f point = recursive_bezier(control_points, t); 
        window.at<cv::Vec3b>(point.y, point.x)[1] = 255;
    }
}

升级版贝塞尔（可以解决曲线的反走样问题）

• 先找到根据t值计算出来的贝塞尔曲线上的点，其周围四个坐标
• 计算该点到周围四个像素点的距离，距离越大，颜色应该越浅 {max-distance}
• 按照distance/sum(distance)重新给四个点的像素赋值，并与原始色素的值进行比较，不能超过255.
• 根据计算出来的点和对应的像素值进行重新绘制

void bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, cv::Mat &window) 
{
    // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's 
    // recursive Bezier algorithm.
    for (float t = 0.0; t <= 1.0; t = t + 0.001)
    {
        cv::Point2f point = recursive_bezier(control_points, t);  //接收每一个t所求得的点
        //找到该点周围的四个点坐标，先找到一个右上的顶点，然后其他的通过这个点求出
        cv::Point2f point_1 = cv::Point2f(point.x - std::floor(point.x) < 0.5 ? std::floor(point.x) : std::ceil(point.x),   //右上的点
            point.y - std::floor(point.y) < 0.5 ? std::floor(point.y) : std::ceil(point.y));
        cv::Point2f point_2 = cv::Point2f(point_1.x - 1.0, point_1.y);
        cv::Point2f point_3 = cv::Point2f(point_1.x - 1.0, point_1.y - 1.0);
        cv::Point2f point_4 = cv::Point2f(point_1.x, point_1.y - 1.0);

        //用vector容器存储刚刚求得的四个像素点坐标;
        std::vector<cv::Point2f> distance_dot{ point_1,point_2,point_3,point_4 };
        float MaxDistance = sqrt(2.0);
        float SumDistance = 0.0f;
        float pi_distance = 0.0f;
        std::vector<float> distance_List = {};

        window.at<cv::Vec3b>(point.y, point.x)[1] = 255;//Mat.at<存储类型名称>(行，列)[通道]
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            cv::Point2f point_coordinate(distance_dot[i].x + 0.5, distance_dot[i].y + 0.5);//记录像素中心点;
            // 距离像素点越近的点 实际上和颜色占比应该越小 因此采用 max-实际距离  的方法进行数据预处理
            pi_distance = MaxDistance - sqrt(std::pow(point.x - point_coordinate.x, 2) + std::pow(point.y - (point_coordinate.y), 2));
            distance_List.push_back(pi_distance);
            SumDistance += pi_distance;       // 计算一个总的距离值
        }
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            float d = distance_List[i] / SumDistance;  // d是距离比例系数
            window.at<cv::Vec3b>(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] = std::min(255.f, window.at<cv::Vec3b>(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] + 255.f * d);
            //不超过255.f，要进行最小值比较
        }
    }
}

4. 完整代码

#include 
#include 
#include 

std::vector<cv::Point2f> control_points;

void mouse_handler(int event, int x, int y, int flags, void *userdata) 
{
    if (event == cv::EVENT_LBUTTONDOWN) 
    {
        std::cout << "Left button of the mouse is clicked - position (" << x << ", "
        << y << ")" << '\n';
        control_points.emplace_back(x, y);
    }     
}

void naive_bezier(const std::vector<cv::Point2f> &points, cv::Mat &window) 
{
    auto &p_0 = points[0];
    auto &p_1 = points[1];
    auto &p_2 = points[2];
    auto &p_3 = points[3];

    for (double t = 0.0; t <= 1.0; t += 0.001) 
    {
        auto point = std::pow(1 - t, 3) * p_0 + 3 * t * std::pow(1 - t, 2) * p_1 +
                 3 * std::pow(t, 2) * (1 - t) * p_2 + std::pow(t, 3) * p_3;

        window.at<cv::Vec3b>(point.y, point.x)[2] = 255;
    }
}

cv::Point2f recursive_bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, float t) 
{
    // TODO: Implement de Casteljau's algorithm
    int n = control_points.size();
    if (n == 1) return control_points[0];
    std::vector<cv::Point2f> res_control_points;

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        res_control_points.push_back(cv::Point2f(
            (1 - t) * control_points[i].x + t * control_points[i + 1].x,
            (1 - t) * control_points[i].y + t * control_points[i + 1].y));
    }
    return recursive_bezier(res_control_points, t);
}

void bezier(const std::vector<cv::Point2f> &control_points, cv::Mat &window) 
{
    // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's 
    // recursive Bezier algorithm.
    for (float t = 0.0; t <= 1.0; t = t + 0.001)
    {
        cv::Point2f point = recursive_bezier(control_points, t);  //接收每一个t所求得的点

        //找到该点周围的四个点坐标，先找到一个右上的顶点，然后其他的通过这个点求出
        cv::Point2f point_1 = cv::Point2f(point.x - std::floor(point.x) < 0.5 ? std::floor(point.x) : std::ceil(point.x),   //右上的点
            point.y - std::floor(point.y) < 0.5 ? std::floor(point.y) : std::ceil(point.y));
        cv::Point2f point_2 = cv::Point2f(point_1.x - 1.0, point_1.y);
        cv::Point2f point_3 = cv::Point2f(point_1.x - 1.0, point_1.y - 1.0);
        cv::Point2f point_4 = cv::Point2f(point_1.x, point_1.y - 1.0);

        //用vector容器存储刚刚求得的四个像素点坐标;
        std::vector<cv::Point2f> distance_dot{ point_1,point_2,point_3,point_4 };
        float MaxDistance = sqrt(2.0);
        float SumDistance = 0.0f;
        float pi_distance = 0.0f;
        std::vector<float> distance_List = {};

        window.at<cv::Vec3b>(point.y, point.x)[1] = 255;//Mat.at<存储类型名称>(行，列)[通道]
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            cv::Point2f point_coordinate(distance_dot[i].x + 0.5, distance_dot[i].y + 0.5);//记录像素中心点;
            // 距离像素点越近的点 实际上和颜色占比应该越小 因此采用 max-实际距离  的方法进行数据预处理
            pi_distance = MaxDistance - sqrt(std::pow(point.x - point_coordinate.x, 2) + std::pow(point.y - (point_coordinate.y), 2));
            distance_List.push_back(pi_distance);
            SumDistance += pi_distance;       // 计算一个总的距离值
        }
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            float d = distance_List[i] / SumDistance;  // d是距离比例系数
            window.at<cv::Vec3b>(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] = std::min(255.f, window.at<cv::Vec3b>(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] + 255.f * d);
            //不超过255.f，要进行最小值比较
        }
    }

}

int main() 
{
    cv::Mat window = cv::Mat(700, 700, CV_8UC3, cv::Scalar(0));
    cv::cvtColor(window, window, cv::COLOR_BGR2RGB);
    cv::namedWindow("Bezier Curve", cv::WINDOW_AUTOSIZE);

    cv::setMouseCallback("Bezier Curve", mouse_handler, nullptr);

    int key = -1;
    while (key != 27) 
    {
        window.setTo(0);
        for (auto &point : control_points) 
        {
            cv::circle(window, point, 3, {255, 255, 255}, 3);
        }

        if (control_points.size() >= 4) 
        {
            naive_bezier(control_points, window);   // 所有点的绘制的贝塞尔曲线用绿色表示
            bezier(control_points, window);   // 前四个点绘制的贝塞尔曲线用红色显示

            cv::imshow("Bezier Curve", window);
            cv::imwrite("my_bezier_curve.png", window);
            key = cv::waitKey(1);

        }

        cv::imshow("Bezier Curve", window);
        key = cv::waitKey(20);
    }

    return 0;
}

5. 参考文献

1. 贝塞尔曲线

2. opencv 处理鼠标事件的方法

3. 贝塞尔曲线简单介绍

4. 解决反走样问题