贪心算法+练习

目录

1.贪心算法简介

2.贪心算法的特点

3.如何学习贪心算法

题目练习（不定时更新）

1.柠檬水找零（easy）

算法原理

代码实现

证明（交换论证法）

---

1.贪心算法简介

贪心策略：解决问题的一种策略，由局部最优->全局最优。

一般步骤：

1.把解决问题的过程分为若干步

2.解决每一步的时候，都选择当前“最优的”解法

3.“希望”得到全局最优解

例1：找零问题

有20,10,5,1面值货币若干张，如何用最少的张数支付46元？

贪心策略：每次选取尽可能大的货币

例2：背包问题

一个背包容量为8，有3种物品若干，选择要装的物品，使背包内物品总价值最大

贪心策略：每次选择单位体积价值尽可能大的物品。类似也可选择体积小（装更多的物品，总价值可能最大），价值大（每次选价值大的，总价值可能最大）。

通过贪心策略得到的结果是13，这并不是最优解（选取2个物品2，总价值14），所以贪心策略考虑的是局部最优，全局不一定最优。

2.贪心算法的特点

1.贪心策略没有标准，不同的问题选取的标准不同

2.贪心不一定得到全局最优解，正确的贪心策略需要被“证明”

证明方法：所有可用的数学证明方法

---

证明：找零问题的贪心策略

在例1中使用的贪心策略是每次选取尽可能大的货币，接下来证明它的正确性，即该贪心策略能够得出最优解。

分析最优情况下的性质：

设不同面值货币使用张数分别为A,B,C,D

B有三种可能：B>2;B=2;B<2

当B>=2时，每两张10元货币都可以用一张20元货币代替，所以要使总货币张数最少，B只能<2。同理，C<2;D<5

设贪心策略下不同面值货币使用张数分别为a,b,c,d

现在只需证明a=A,b=B,c=C,d=D即可

根据贪心策略，显然a>=A。如果a>A，那么相差的每个20元，需要其它面值货币凑够，根据性质，B,C,D最大得到的总额是10+5+4=19元<20元，需要增加货币张数，不符合性质。所以a=A。

同理可证，b=B,c=C,d=D

综上，该贪心策略得到的就是最优解。

3.如何学习贪心算法

1放平心态

贪心算法并不是一种模版，它是一种解题策略。对于一些题目，想不到正确的贪心策略很正常。

2积累经验

学习贪心算法时，应该把重点放在贪心的策略上，对于每一道题目的贪心策略，我们应该当成经验去吸收，积累多了，我们“贪心的思维”自然就熟练了。

3尝试证明

一些贪心题目的原理比较简单，理解了贪心算法后基本不需要证明，对于一些较难的题目，我们学会解决它的贪心策略后可以尝试理解或证明它的正确性。

题目练习（不定时更新）

1.柠檬水找零（easy）

题目链接：柠檬水找零

题目描述：

算法原理

1讨论找零情况：

2贪心策略

给20元找零有两种方式，需要选择最优的方式（完成更多的交易）

示例：已有5,5,5,10，下面的支付金额顺序是20,10

选择10+5方式找零，还剩5,5，可以用一个5给下一个10找零，true

选择5+5+5方式找零，给20找完后无剩余5，不能给下一个10找零，false

5元既可以给10元找零也可以给20元找零，所以本题的贪心策略是保留更多的5元，即给20找零优先使用10+5。

代码实现

用两个变量分别统计收下5,10的个数

找零（按分类讨论和贪心实现），5,10对应变量减去数量即可

无法找零返回false

C：

bool lemonadeChange(int* bills, int billsSize){
    int five = 0, ten = 0;

    for (int i = 0; i < billsSize; i++)
    {
        // 分类讨论
        if (bills[i] == 5)
            five++;
        else if (bills[i] == 10)
        {
            if (five == 0)
                return false;
            five--;
            ten++;
        }
        else
        {
            if (ten && five)// 贪心
            {
                ten--;
                five--;
            }
            else if (five >= 3)
            {
                five -= 3;
            }
            else
                return false;
        }
    }

    return true;
}

C++：

class Solution {
public:
    bool lemonadeChange(vector& bills) {
        int five = 0, ten = 0;

        for (auto x : bills)
        {
            // 分类讨论
            if (x == 5)
                five++;
            else if (x == 10)
            {
                if (five == 0)
                    return false;
                five--;
                ten++;
            }
            else
            {
                if (ten && five)// 贪心
                {
                    ten--;
                    five--;
                }
                else if (five >= 3)
                {
                    five -= 3;
                }
                else
                    return false;
            }
        }

        return true;
    }
};

证明（交换论证法）

交换论证法：假设一种接近贪心算法的最优算法，通过交换它的一个步骤或元素，该算法的最优性不变，或者更接近贪心算法（贪心算法更优），那么贪心算法就是最优解。

证明该题目贪心策略的最优性：

假设最优解其中一步给20找零使用5+5+5

讨论：

①最优解后面没有用贪心解的那个10找零

用10交换最优解给20找零的其中2个5，其仍然是最优解

②最优解后面有一次用了贪心解的10找零

给20找零的其中两个5可以与后面使用的10交换，其仍然最优

综上，该贪心算法是最优解（正确解）

---

其它贪心题目会根据个人学习情况不定时更新，敬请期待。

如果本文内容对你有帮助，可以点赞收藏，感谢支持，期待你的关注。