acwing215.破译密码题解（容斥原理+mobius函数）

达达正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：

对于给定的整数 a,b 和 d，有多少正整数对 x,y，满足 x≤a，y≤b，并且 gcd(x,y)=d.

作为达达的同学，达达希望得到你的帮助。

输入格式

第一行包含一个正整数 n，表示一共有 n 组询问。

接下来 n 行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为 a,b,d。

输出格式

对于每组询问，输出一个正整数，表示满足条件的整数对数。

数据范围

1≤n≤50000,
1≤d≤a,b≤50000

输入样例：

2
4 5 2
6 4 3

输出样例：

3
2

提示:gcd(x,y) 返回 x，y的最大公约数。

思路：

分析一下复杂度，每次最多o();

首先我们先将gcd（x,y)=d转化为gcd(x/d,y/d)=1(让a,b各处以d);

gcd(x/d,y/d)=1说明两个数互质，根据容斥原理我们可设pi为含能除第i个质因子的被除数的个数。

答案即为：a*b-。

时间复杂度为o(n)。我们可以发现a/i最多有2*个取值。

从1-有个取值，-a值域有个取值方式；

对于每段从i开始，其上界j=k/(k/i)（维持k/i不变最大范围i-j）。

计算[k/i]*i时间复杂度降到级别。

sum[i]为mibuis函数前缀和。

对于每一段：sum[j]-sum[i-1]为（a/i）*（b/i）的系数和。

可以看看我的另一篇：求∑(1,n)⌊k/i⌋∗i-CSDN博客

mibuis【i】函数：当i含有两个相同的质因子，mibuis【i】=0。i含有偶数个不同的质因子，mibuis【i】=1，i含有奇数个不同的质因子，mibuis【i】=1；

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include

    }
}
int main()
{
    getmobuis();
    rep(i, 1, N) sum[i] += sum[i - 1] + mobuis[i];
    int n,a, b,d;
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &d);
        LL cnt = 0;
        int j = 1;
        a = a / d;
        b = b / d;
        int x = min(a, b);
        for (int i = 1; i <=x; i = j + 1)
        {
            j = min(x, min(a / (a / i), b / (b / i)));
            cnt += (sum[j] - sum[i - 1]) * (LL)(a / i) * (b / i);
        }
        printf("%lld\n", cnt);
    }
    return 0;
}