从斐波那契数列重温时间复杂度

• 开题引入斐波那契
  • 代码演示： 递归、循环
• 递归 vs 循环
  • 时间复杂复高，指数型O(2^n)； 推导过程
  • 占用线程堆栈， 可能导致栈满异常
• 压测直观演示

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打入门软件开发，斐波那契数列便是绕不过去的简单编程算法。

一个老生常谈的思路是递归，另外是循环，今天借此机会回顾并演示时间复杂度在编程中的重要性。

斐波那契 递归算法 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55

递归算法的应用场景是：

• 将大规模问题，拆解成几个小规模的同样问题
• 拆解具备终止场景

func Fibonacci(n int) (r int) {
 if n == 1 || n == 2 {
  r = 1
  return
 } else {
  return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)
 }
}

为什么能想到循环， 斐波那契数组也有循环的含义：
第n个数字是循环指针i从第1个数字移动到第n-2个数字时， 第n-2个数字pre+第n-1个数字next的和。

func Fibonacci2(n int) (r int) {
   if n==1 || n==2  {
     return 1
   }
   pre,next int :=1,1
   for i:=0; i<=n-1-2; i++ {
       tmp:= pre+next
       pre = next
       next = tmp
   }
}

单元测试如下：

func TestFibonacci(t *testing.T) {
 t.Logf("Fibonacci(1) = %d, Fibonacci2(1)= %d ", Fibonacci(1), Fibonacci2(1))
 t.Logf("Fibonacci(3) = %d, Fibonacci2(3)= %d ", Fibonacci(3), Fibonacci2(3))
 t.Logf("Fibonacci(8) = %d, Fibonacci2(8)= %d ", Fibonacci(8), Fibonacci2(8))
}

go test ./ -v
=== RUN   TestFibonacci
    m_test.go:8: Fibonacci(1) = 1, Fibonacci2(1)= 1 
    m_test.go:9: Fibonacci(3) = 2, Fibonacci2(3)= 2 
    m_test.go:10: Fibonacci(8) = 21, Fibonacci2(8)= 21 
--- PASS: TestFibonacci (0.00s)
PASS
ok      example.github.com/test 3.359s

---

递归的问题在于：

(1) 函数调用存在压栈过程，会在线程栈（一般2M）上留下栈帧，斐波那契人递归算法：是函数自己调用自己，在终止条件后栈帧开始收敛，但是在此之前有可能已经撑爆线程栈。

栈帧中维持着函数调用所需要的各种信息，包括函数的入参、函数的局部变量、函数执行完成后下一步要执行的指令地址、寄存器信息等。

(2) 斐波那契递归调用存在重复计算，时间复杂度是O(2^n),随着n的增加，需要计算的次数陡然增大（业内称为指数型变化）。

 f(n) = f(n-1)+f(n-2)                 // 1次计算
      = f(n-2)+f(n-3)+f(n-3)+f(n-4)   // 3次计算
      = f(n-3)+f(n-4)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-5)+f(n-6)                               // 7次计算
      =......
      = f(1)+......                   //  2^n-1次计算
      
 故为斐波那契递归时间复杂度为 O(2^n)     

而我们的循环算法不存在以上问题， 第n个数字需要n -2次计算， 时间复杂度是O(n)

有些童鞋可能没意识到指数型的威力，举个例子， 斐波那契递归算法，第20个数字需要2^20次运算； 循环算法只要18次运算。

使用基准测试压测：

func BenchmarkF1(b *testing.B) {
 for i := 1; i < b.N; i++ {
  Fibonacci(20) //  时间复杂度  O(2^n)
 }
}

func BenchmarkF2(b *testing.B) {
 for i := 1; i < b.N; i++ {
  Fibonacci2(20) // 时间复杂度 O(n)
 }
}


go test  -bench=.  -benchmem  ./
goos: darwin
goarch: amd64
pkg: example.github.com/test
cpu: Intel(R) Core(TM) i5-8257U CPU @ 1.40GHz
BenchmarkF1-8              55039             20740 ns/op               0 B/op          0 allocs/op
BenchmarkF2-8           196663548                6.080 ns/op           0 B/op          0 allocs/op
PASS
ok      example.github.com/test 3.744s

单次执行效率相形见绌，甚至斐波那契递归n=50+ 不一定能计算出来。

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ok, that'all 本次快速聊了递归算法相比循环的两点劣势，这里面很重要常见时间复杂度变化曲线， 需要程序员必知必会。 https://adrianmejia.com/most-popular-algorithms-time-complexity-every-programmer-should-know-free-online-tutorial-course/

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