图论：二分图问题

前言：今天来记图论中二分图的问题，二分图会是很多图论中的盲点，这里记两个关于二分图的算法

目录

1、染色法判段二分图

2、匈牙利算法

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1、染色法判段二分图

思路：染色法的核心思想为将当前节点染成一个颜色，然后将他连接的边全部染成另一个颜色。

如果节点中存在奇数环，就会存在冲突，即要染成不同颜色的点和当前节点相同颜色。

代码模板：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2e5+10;
int h[N],e[M],ne[M],idx;//数组模拟链表
int color[N];//当前节点颜色，0代表未染色
int n,m;
void add(int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;//数组模拟链表插入操作
}
bool dfs(int u,int c){
    color[u]=c;//将u节点染成c色
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){//遍历数组
        int j=e[i];
        if(!color[j]){//如果当前节点没有染色
            if(!dfs(j,3-c)) return false;//如果染色失败
        }
        else if(color[j]==c) return false;//如果要染色的点和当前节点相同颜色    
    }
    return true;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);//头结点初始化为-1
    while(m--){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b),add(b,a);//将两个方向添加
    }
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!color[i]){//遍历如果当前节点没有染色
            if(!dfs(i,1)){
                flag=false;
                break;
            } 
        }
    }
    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

2、匈牙利算法

题目模板：给定一个二分图，n1代表左边节点，n2代表右边的结点，m为边数，求左边和右边的最大匹配数。

思路：匈牙利算法的思路就很有意思了，如果左边的a和右边的m结点匹配了，a还能和右边的n匹配，遍历到下一个结点b的时候，发现b只能和m匹配，b就去问a，a能不能把m让给他，和n匹配，多么像绿帽子算法，好一个资源最大化！

上代码！

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=510,M=1e5+10;

int h[N],e[M],ne[M],idx;//数组模拟链表
int match[N];//当前点的匹配对象
bool st[N];
int n1,n2,m;//n1为左边的结点，n2为右边的结点，m为边数

void add(int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool find(int x){
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
        int j=e[i];
        if(!st[j]){
            st[j]=true;
            if(!match[j]||find(match[j])){
                match[j]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        int a, b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);//因为这里只从n1往n2走，所以不用记反向
    }
    int res=0;//储存最大匹配数
    for(int i=1;i<=n1;i++){
        memset(st,false,sizeof st);
        if(find(i)) res++;
    }
    cout<