大厂真题：【DP】华为2023秋招-PCB印刷电路板布线

题目描述与示例

题目描述

在PCB印刷电路板设计中，器件之间的连线，要避免线路的阻抗值增大，而且器件之间还有别的器任和别的干扰源，在布线时我们希望受到的干扰尽量小。

现将电路板简化成一个M × N的矩阵，每个位置（单元格）的值表示其源干扰度。

如果单元格的值为0，表示此位置没有干扰源，如果单元格的值为非0，则表示此位置是干扰源，其值为源干扰度。连线经过干扰源或干扰源附近会增加连线的总干扰度。

位置A[x,y]的干扰源的源干扰广为d (d>0)，则连线的干扰度计算如下：

1、若连线经过位置A[x,y]，则其总干扰度会增加加

2、若连线经过离位置A[x,y]距离小于d的位置时，设其距离为k，则总干扰度会增加(d-k)

3、若连线经过离位置A[x,y]距离大于或等于d的位置时，总干扰都不会增加；

注：位置[x1,y1]和位置[x2,y2]之间距离的定义为：|x1-x2|+|y1-y2|。

如下3x3矩阵，位置[1,1]的源干扰度是2，连线的位置序列为：[0,0]->[0,1]->[0,2]->[1,2]->[2,2]。

暂时无法在飞书文档外展示此内容

其中[0,1]和[1,0]到干扰源的距离为1，会叠加1的干扰度；其他位置到[1,1]的距离均大于等于2，所以不会叠加干扰度。因此这条连线的总干扰度为2。

现在我们需要将左上角的器件到右下角的器件进行连线，两个器件的位置分别是左上角的[0,0]和右下角的[M-1,N-1]。由于我们希望连线尽量地短，从位置[0,0]到[M-1,N-1]的连线途中，我们规定连线只能向下或向右。

请根据输入(M × N的矩阵)，计算出连线的最小干扰度。

输入描述

第一行是两个整数M和N(M和N最大值为1000)，表示行数和列数；

接着是M行的数据，每一包含N个整数，代表每个位置的源干扰度，每个源干扰度小于50。

输出描述

左上角[0,0]到右下角[M-1,N-1]连线的最小总干扰度。

示例一

输入

3 3
0 0 0
0 2 0
0 0 0

输出

2

说明

其中一条可以使干扰度最小的路径为：[0,0]->[0,1]->[0,2]->[1,2]->[2,2]，其干扰度为2。

示例二

输入

5 5
0 0 0 0 0
0 0 2 0 0
0 2 0 2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

输出

1

说明

先从[0,0]往下走到最下面[4,0]，再往石走到右下角[4,4]，途径[2,0]时叠加一个干扰度。

示例三

输入

5 5
0 0 0 0 0
0 0 2 0 0
0 2 0 2 0
0 0 2 0 0
0 0 0 0 0

输出

2

时空限制

时间限制： C/C++ 2000MS，其他语言4000MS

内存****限制： C/C++ 256MB，其他语言512MB

解题思路

本题属于综合性较强的题目，结合了BFS和DP两个知识点。

首先我们需要根据原矩阵，构建出每一个位置干扰值叠加的结果，得到一个新的矩阵grid_new。这里显然就是一个基于BFS计算层数的问题。

暂时无法在飞书文档外展示此内容

在得到新的矩阵grid_new之后，问题就转变为，对grid_new构建一条从左上到右下的路径，每次只能够向右或向下移动，路径经过的点的总和需要最小。这是一个经典的路径DP问题，和LeetCode64、最小路径和完全一致。

代码

Python

# 题目：【DP】华为2023秋招-PCB印刷电路板布线
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：DP/BFS
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问


from collections import deque


DIRECTIONS = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]


# 对于grid中每一个干扰源，以干扰源作为起点进行BFS，更新grid_new
def BFS_update_grid_new(val, grid_new, i, j, m, n):
    check_list = [[0] * n for _ in range(m)]
    check_list[i][j] = 1
    grid_new[i][j] += val
    q = deque()
    q.append((i, j))
    # 注意这里退出循环的条件和val相关
    while val > 1:
        val -= 1
        qSize = len(q)
        for _ in range(qSize):
            cur_x, cur_y = q.popleft()
            for dx, dy in DIRECTIONS:
                nxt_x, nxt_y = cur_x+dx, cur_y+dy
                if 0 <= nxt_x < m and 0 <= nxt_y < n and check_list[nxt_x][nxt_y] == 0:
                    q.append((nxt_x, nxt_y))
                    grid_new[nxt_x][nxt_y] += val
                    check_list[nxt_x][nxt_y] = 1


# 用于解决最小路径和问题的函数
def find_min_sum_path(grid_new, m, n):
    # 构建大小为m*n的dp数组，dp[i][j]表示
    # 到达grid_new中的点(i,j)，所需的最小路径和
    dp = [[0] * (n) for _ in range(m)]
    # 初始化(0,0)位置
    dp[0][0] = grid_new[0][0]
    # 初始化dp数组第0行，只能从左边向右转移得到
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] += dp[0][j-1] + grid_new[0][j]
    # 初始化dp数组第0列，只能从上边向下转移得到
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] += dp[i-1][0] + grid_new[i][0]
    # 遍历剩余所有点
    # 点(i,j)的状态，只能从点(i-1,j)向下或者从点(i,j-1)向右转移得到
    # 故动态转移方程为dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid_new[i][j]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid_new[i][j]

    return dp[-1][-1]


# 输入行数m，列数n
m, n = map(int, input().split())
# 构建原干扰值矩阵
grid = list()
for _ in range(m):
    grid.append(list(map(int, input().split())))

# 初始化干扰值叠加后的新矩阵gird_new
grid_new = [[0] * n for _ in range(m)]

for i in range(m):
    for j in range(n):
        # 对于每一个干扰源，使用BFS更新grid_new
        if grid[i][j] != 0:
            val = grid[i][j]
            BFS_update_grid_new(val, grid_new, i, j, m, n)

# 调用函数find_min_sum_path，输出答案
print(find_min_sum_path(grid_new, m, n))

Java

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Deque;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    private static final int[][] DIRECTIONS = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}};

    // Function to perform BFS and update gridNew
    private static void BFSUpdateGridNew(int val, int[][] gridNew, int i, int j, int m, int n) {
        int[][] checkList = new int[m][n];
        checkList[i][j] = 1;
        gridNew[i][j] += val;
        Deque queue = new ArrayDeque<>();
        queue.add(new int[]{i, j});

        while (val > 1) {
            val--;
            int qSize = queue.size();
            for (int k = 0; k < qSize; k++) {
                int[] current = queue.poll();
                int curX = current[0];
                int curY = current[1];

                for (int[] dir : DIRECTIONS) {
                    int nextX = curX + dir[0];
                    int nextY = curY + dir[1];
                    if (nextX >= 0 && nextX < m && nextY >= 0 && nextY < n && checkList[nextX][nextY] == 0) {
                        queue.add(new int[]{nextX, nextY});
                        gridNew[nextX][nextY] += val;
                        checkList[nextX][nextY] = 1;
                    }
                }
            }
        }
    }

    // Function to find the minimum sum path
    private static int findMinSumPath(int[][] gridNew, int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = gridNew[0][0];

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + gridNew[i][0];
        }

        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + gridNew[0][j];
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + gridNew[i][j];
            }
        }

        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m = sc.nextInt();
        int n = sc.nextInt();
        int[][] grid = new int[m][n];

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                grid[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }

        int[][] gridNew = new int[m][n];

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] != 0) {
                    int val = grid[i][j];
                    BFSUpdateGridNew(val, gridNew, i, j, m, n);
                }
            }
        }

        System.out.println(findMinSumPath(gridNew, m, n));
    }
}

C++

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const vector> DIRECTIONS = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}};

// Function to perform BFS and update grid_new
void BFSUpdateGridNew(int val, vector>& gridNew, int i, int j, int m, int n) {
    vector> checkList(m, vector(n, 0));
    checkList[i][j] = 1;
    gridNew[i][j] += val;
    deque> q;
    q.push_back({i, j});

    while (val > 1) {
        val--;
        int qSize = q.size();
        for (int k = 0; k < qSize; k++) {
            int curX = q.front().first;
            int curY = q.front().second;
            q.pop_front();

            for (const auto& dir : DIRECTIONS) {
                int nextX = curX + dir.first;
                int nextY = curY + dir.second;
                if (nextX >= 0 && nextX < m && nextY >= 0 && nextY < n && checkList[nextX][nextY] == 0) {
                    q.push_back({nextX, nextY});
                    gridNew[nextX][nextY] += val;
                    checkList[nextX][nextY] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

// Function to find the minimum sum path
int FindMinSumPath(const vector>& gridNew, int m, int n) {
    vector> dp(m, vector(n, 0));
    dp[0][0] = gridNew[0][0];

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + gridNew[i][0];
    }

    for (int j = 1; j < n; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + gridNew[0][j];
    }

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + gridNew[i][j];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}

int main() {
    int m, n;
    cin >> m >> n;
    vector> grid(m, vector(n));

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> grid[i][j];
        }
    }

    vector> gridNew(m, vector(n, 0));

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (grid[i][j] != 0) {
                int val = grid[i][j];
                BFSUpdateGridNew(val, gridNew, i, j, m, n);
            }
        }
    }

    cout << FindMinSumPath(gridNew, m, n) << endl;

    return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(MNk)。其中k为干扰源的数目，一共需要进行k次BFS，每次BFS的时间复杂度为O(MN)。另外，DP过程的时间复杂度为O(MN)。

空间复杂度：O(MN)。grid_new、check_list、dp等二维矩阵所占空间均为O(MN)。
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