【高数笔记】第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

微分方程：含有导数的方程叫微分方程

阶：微分方程的导数最高是几阶导数。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶

解：微分方程的解是一个函数，将这个函数代入，方程为恒等式。

通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（任意常数互相独立，不能合并。）
$$\begin{gathered} 比如y^{\prime \prime }=3, \\ 则y^{\prime }=3x+C_1 \\ 解得y=1.5x^2+C_{1}x+C_2 \\ 微分方程的阶是2，解有两个常数C_1，C_2。 \\ 因此这个解是通解 \end{gathered}$$

特解：确定通解中的常数之后，就是特解

初值条件：就是$x=x_0，y=y_{0}ory{|}_{x=x_0}=y_0$

初值问题：求微分方程在一个初值条件下的特解就是问题

微分方程的积分曲线：解的曲线

第二节 可分离变量的微分方程

可分离变量是所有微分方程求法的基础

如果方程可以化为下面这种形式，就叫可分离变量
$$g(y)dy=f(x)dx$$
求解方式就是等式两边同时积分
$$\begin{gathered} \int g(y)dy=\int f(x)dx \\ 整理得到y=h(x) \end{gathered}$$

如果解是隐函数，则称为隐式解，隐式通解

【练习题】

$$\begin{gathered} 求微分方程\frac{dy}{dx}=2xy的通解 \\ 整理成可分离变量形式：ydy=2xdx \\ 两边同时积分\int \frac{dy}{y}=\int 2xdx \\ ln|y|=x^2+C_1 \\ 最后整理，并化简参数 \\ y=\pm e^{x^2+C1}=\pm e^{C_1}\times e^{x^2}=C{e}^{x^2} \end{gathered}$$

第三节 齐次方程

如果可以化为如下形式，则是齐次方程
$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x}) \\ 也就是等式右边是一个齐次的，\frac{y}{x}同时出现的情况 \\ 比如\phi (\frac{y}{x})=\frac{y^2}{x^2+xy} \end{gathered}$$

解法，y=ux然后转化为可分离变量的情况
$$\begin{gathered} 令u=\frac{y}{x}，y=ux \\ \frac{dy}{dx}=\frac{d(ux)}{dx}=\frac{(xdu+udx)}{dx} \\ =x\frac{du}{dx}+u=\phi (u) \end{gathered}$$

【练习题】

$$\begin{gathered} 求y^2+x^2\frac{dy}{dx}=xy\frac{dy}{dx} \\ 整理得到\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{-x^2+xy}=\frac{(\frac{y}{x}{)}^2}{-1^2+(\frac{y}{x})} \\ 则\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}，=\frac{u^2}{u-1} \\ 得到(\frac{u-1}{u})du=\frac{1}{x}dx \\ 于是变成了可分离变量的形式 \\ 两边同时求积分，得到最终结果 \\ \int (\frac{u-1}{u})du=\int \frac{1}{x}dx \end{gathered}$$

可化为齐次的方程

如下
$$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{mx+ny+q}$$

但是因为分子分母有常数c、q，不能直接变成齐次。

通过x = X+h，y=Y+k代换的方式，消去常数c，q。
$$\begin{gathered} 令x=X+h,y=Y+k \\ \frac{dY}{dX}=\frac{aX+bY+ah+bk+c}{mX+nY+mh+nk+q} \\ 令常数项=0 \\ 得\{\begin{array}{l}ah+bk+c=0\\ mh+nk+q=0\end{array} \\ 联立方程组解出来h和k是多少（用行列式的方式） \end{gathered}$$

如果 ∣ a , b m , n ∣ ≠ 0 h = ∣ − c , b − q , n ∣ ∣ a , b m , n ∣ , k = ∣ a , − c m , − q ∣ ∣ a , b m , n ∣ 如果 ∣ a , b m , n ∣ = 0 说明系数成比例 a m = b n = λ 原方程化为 d y d x = a x + b y + c λ ( a x + b y ) + q 令 v = a x + b y a x + b y + c λ ( a x + b y ) + q = v + c λ v + q d y d x = d ( v b − a x b ) d x = 1 b ( d v d x − a ) 1 b ( d v d x − a ) = v + c λ v + q 转化为可分离变量 d v d x = b v + c λ v + q + a 如果\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}\ne0\\ h=\dfrac {\begin{vmatrix} -c,b\\ -q,n \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}}, k=\dfrac {\begin{vmatrix} a,-c\\ m,-q \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}}\\ 如果\begin{vmatrix} a,b\\ m,n \end{vmatrix}=0\\ 说明系数成比例\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\lambda \\ 原方程化为\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+q}\\ 令v=ax+by\\ \frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+q} = \frac{v+c}{\lambda v+q}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{d(\dfrac{v}{b}-\dfrac{ax}{b})}{dx}=\frac{1}{b}(\frac{dv}{dx}-a)\\ \frac{1}{b}(\frac{dv}{dx}-a)=\frac{v+c}{\lambda v+q}\\ 转化为可分离变量\\ \frac{dv}{dx}=b\frac{v+c}{\lambda v+q}+a 如果 ​a,bm,n​ ​=0h= ​a,bm,n​ ​ ​−c,b−q,n​ ​​,k= ​a,bm,n​ ​ ​a,−cm,−q​ ​​如果 ​a,bm,n​ ​=0说明系数成比例ma​=nb​=λ原方程化为dxdy​=λ(ax+by)+qax+by+c​令v=ax+byλ(ax+by)+qax+by+c​=λv+qv+c​dxdy​=dxd(bv​−bax​)​=b1​(dxdv​−a)b1​(dxdv​−a)=λv+qv+c​转化为可分离变量dxdv​=bλv+qv+c​+a

推广，可以解如下方程
$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{ax+by+c}{mx+ny+q})$$

第四节 一阶线性微分方程

如下形式
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
什么是一阶，就是只有一阶导数

什么是线性，就是y的导数们只有一次方，没有$(y^{\prime }{)}^2$这种

什么是齐次，就是当Q(x)=0的时候

一阶线性齐次微分方程

如下形式
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$
求解，直接转化为可分离变量类型
$$\begin{gathered} \frac{1}{y}dy=-P(x)dx \\ ln|y|=-\int P(x)dx \\ y=C\times e^{-\int P(x)dx} \end{gathered}$$

一阶线性非齐次微分方程

如下形式
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
首先书本没有解释的是，假设一阶线性非齐次为
$$y=u\times e^{-\int P(x)dx}$$
u是关于x的函数，也就是u(x)

齐次方程式结果是$y=C\times e^{-\int P(x)dx}$

将y换元为$u\times e^{-\int P(x)dx}$
$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \\ \frac{d(u{e}^{-\int P(x)dx}))}{dx}+P(x)u{e}^{-\int P(x)dx}=Q(x) \\ \frac{du}{dx}{e}^{-\int P(x)dx}+u\frac{d(e^{-\int P(x)dx})}{dx}+P(x)u{e}^{-\int P(x)dx}=Q(x) \\ \frac{du}{dx}{e}^{-\int P(x)dx}+u\times -P(x)e^{-\int P(x)dx}+u\times P(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x) \\ \because u\times -P(x)e^{-\int P(x)dx}+u\times P(x)e^{-\int P(x)dx}=0消掉了 \\ 最终化简得到\frac{du}{dx}{e}^{-\int P(x)dx}=Q(x) \\ 再次转化为可分离变量类型 \\ du=Q(x)e^{\int P(x)dx}dx（注意这里P(x)的符号变成正的了） \\ 得u=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C \end{gathered}$$
把求解出来的u代入的假设的y中
$$\begin{gathered} \because y=u\times e^{-\int P(x)dx} \\ \therefore y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C) \end{gathered}$$
注意两个P(x)中，第一个有负号。第二个与Q(x)相乘的这个，没有负号。

【练习题】

$$\begin{gathered} 求\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y} \\ 直接求解不好解，转化不了为标准形式\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \\ 但是发现，上下颠倒为\frac{dx}{dy}=x+y \\ 可以进一步转化为\frac{dx}{dy}-x=y \\ 换元为\frac{dy}{dx}-y=x \\ 即P(x)=-1,Q(x)=x \\ 代入公式y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C) \\ y=e^{-\int -1dx}(\int x{e}^{\int -1dx}dx+C) \\ =e^x(\int x{e}^{x}dx+C) \\ =e^x(e^x(x-1)+C) \end{gathered}$$

伯努利方程

如下形式
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n（n\ne 0,1）$$
求解，两边除以$y^n$，然后转化为一阶线性非齐次微分方程
$$\begin{gathered} y^{-n}\frac{dy}{dx}+y^{1-n}P(x)=Q(x) \\ 令z=y^{1-n} \\ \therefore \frac{d(y^{1-n})}{(1-n)dx}+zP(x)=Q(x) \\ 即\frac{dz}{(1-n)dx}+zP(x)=Q(x) \\ 即\frac{dz}{dx}+zP(x)(1-n)=Q(x)(1-n)（n\ne 0,1） \\ 实际的P^{\prime }(x)=P(x)(1-n),Q^{\prime }(x)=Q(x)(1-n) \\ 代入得到z=e^{-\int P(x)(1-n)dx}(\int Q(x)(1-n)e^{\int P(x)(1-n)dx}dx+C) \end{gathered}$$
因为$y=z^{\frac{1}{(n-1)}}$次方，反向求解
$$\begin{gathered} y=z^{\frac{1}{(n-1)}} \\ y=[e^{-\int P(x)(1-n)dx}(\int Q(x)(1-n)e^{\int P(x)(1-n)dx}dx+C){]}^{\frac{1}{(n-1)}} \end{gathered}$$

【练习题】

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n（n\ne 0,1）$$

$$\begin{gathered} 求解\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=a(lnx)y^2 \\ P(x)=1/x,Q(x)=alnx两边除以y^2 \\ \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{xy}=a(lnx) \\ 令z=y^{-1} \\ y=z^{-1},dy=-z^{-2}dz=-y^{2}dz \\ 代入得-\frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}=a(lnx) \\ 解得z=x[C-\frac{a}{2}(lnx{)}^2] \\ y=1/(x[C-\frac{a}{2}(lnx{)}^2]) \end{gathered}$$

第五节 可降阶的高阶微分方程

高阶微分方程没有几个能求解出来的，只有几种特殊情况可以求解出来

情况一 $y^{(n)}=f(x)$

如下形式
$$y^{(n)}=f(x)$$
y的n阶导数，等于f(x)。直接开局就是y，x变量分离的情况

求解，多次求积分，直到得到y

【练习题】

$$\begin{gathered} y^{\prime \prime \prime }=e^{2x}-cos(x) \\ {y}^{\prime \prime }=\frac{1}{2}{e}^{2x}-sin(x)+C_1 \\ {y}^{\prime }=\frac{1}{4}{e}^{2x}+cos(x)+C_{1}x+C_2 \\ y=\frac{1}{8}{e}^{2x}+sin(x)+\frac{1}{2}{C}_1{x}^2+C_{2}x+C_3 \\ （一定要注意常数C） \end{gathered}$$

情况二 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

1. 也就是没有y，
2. 但是阶数只有相邻的两阶，
3. 并且可以通过前四节的方法求出 y的导数（如y’）

求解，先求出y的导数，如y’，然后就是情况一，多次求积分得到y

【练习题】

$$\begin{gathered} (1+x^2)y^{\prime \prime }=2x{y}^{\prime } \\ 先尝试一阶线性非齐次微分方程y^{\prime }+P(x)y=Q(x) \\ {y}^{\prime \prime }+\frac{-2x}{1+x^2}{y}^{\prime }=0 \\ {y}^{\prime }=C{e}^{\int \frac{2x}{1+x^2}dx} \\ {y}^{\prime }=C{e}^{ln|1+x^2|} \\ {y}^{\prime }=C|1+x^2| \\ 最终y=C_1(\frac{1}{3}{x}^3+x+C_2) \end{gathered}$$

情况三 $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

1. 有未知数y、y’、y‘’
2. 没有x

求解，令y’=p然后求解出y’，
$$\begin{gathered} y^{\prime }=p \\ 即y^{\prime }(x)=p(x) \\ {y}^{\prime \prime }=\frac{d{y}^{\prime }}{dx}=\frac{d(p(x))}{dx}=\frac{dp}{dy}\times \frac{dy}{dx} \\ {y}^{\prime \prime }=\frac{dp}{dy}{y}^{\prime }=\frac{dp}{dy}p \end{gathered}$$
于是就转化为一阶线性非齐次微分方程
$$\begin{gathered} \frac{dp}{dy}p=f(y,p) \\ \frac{dp}{dy}+P(y)p=Q(y) \end{gathered}$$

【练习题】

$$\begin{gathered} y\cdot y^{\prime \prime }-(y^{\prime }{)}^2=0 \\ 换元为p \\ y\cdot \frac{dp}{dy}p-p^2=0 \\ \frac{dp}{dy}-\frac{1}{y}p=0（p，y\ne 0） \\ {y}^{\prime }=p=e^{-\int \frac{1}{y}dy}=C_{1}y \\ \frac{dy}{dx}=C_{1}y \\ ln|y|=C_{1}x+C_2 \\ y=e^{C_{1}x+C_2} \end{gathered}$$
注意讨论p和y不为0的时候
$$若p=0，得出y=0$$

第六节 高阶线性微分方程

使用二阶方程来推导定理，定理可以推广到n阶方程中
$$\begin{gathered} 二阶线性齐次方程y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)=0 \\ 二阶线性非齐次方程y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)=f(x)(f(x)不恒为0) \\ n阶线性方程y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)y^{(1)}+a_0(x)y=f(x)(f(x)不恒为0) \end{gathered}$$

定理1

解的线性组合还是齐次方程的解。如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次方程$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)=0$的两个解，那么$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$也是二阶齐次方程的解，其中 C1，C2 是任意常数

函数组的线性无关：对于函数y，存在n个不全为0的系k使得$k_1{y}_1+k_2{y}_2+\cdots +k_n{y}_n=0$则称为线性相关。如果k全为0，则线性无关。线性相关即至少一个函数，可以被其他函数线性表示。

比如：$1,co{s}^2(x),si{n}^2(x)$线性相关。$1-co{s}^2(x)-si{n}^2(x)=0$线性k取(1,-1,-1)不全为0。

定理2

如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次方程$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)=0$的两个线性无关的特解，那么$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$就是二阶齐次方程的通解，其中 ，C1，C2 为任意常数

比如$sin(x),cos(x)$是方程$y^{\prime \prime }+y=0$的解，因为$\frac{sinx}{cosx}=tanx\ne 常数$所以线性无关。所以$y=C_{1}sin(x)+C_{2}cos(x)$是通解

接下来来介绍非齐次方程的解的结构

定理3

设$y^{\ast }(x)$是二阶非齐次线性方程$ y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)（1）$的一个特解，$ Y(x) $是与方程(1)对应的齐次方程$y″+P(x)y′+Q(x)y=0（2）$的通解，则$ y=Y(x)+y^*(x) $是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解

尝试把上述的y代入，得到左式为$[Y″+P(x)Y\prime +Q(x)Y]+[y^{\ast }″+P(x)y^{\ast }\prime +Q(x)y^{\ast }]$前一项=0，后一项=f因此y确实是非齐次方程的解。

定理4

(又称微分方程解的叠加原理)

函数$y_1^{\ast }(x)$是方程$y″+P(x)y\prime +Q(x)y=f_1(x)$的特解，$y_2^{\ast }(x)$是方程$y″+P(x)y\prime +Q(x)y=f_2(x)$的特解，则$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$就是$y″+P(x)y\prime +Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的特解

上述四个定理都可以推广到n维

⭐常数变易法

之前用来求解一阶线性非齐次方程

第七节 常系数齐次线性微分方程

二阶

先讨论二阶方程，再推广到n阶

$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$$
如果所有变量的系数P(x)、Q(x)是不是常数，则称为二阶变系数齐次微分方程

如果所有变量的系数P(x)、Q(x)是常数p、q，则称为二阶常系数齐次微分方程，如下形式，
$$y″+py\prime +qy=0$$

书上写到函数$y=e^{rx}$具有独特的性质，$y^{(n)}=r^n{e}^{rx}$各阶导数之间只有常数因子$r^n$不同。如果把它代入上述方程，发现得到$(r^2+pr+q)e^{rx}=0$因为$e^{rx}\ne 0$，所以只要关于系数r的方程$(r^2+pr+q)=0$，就能找到一个r0使得$e^{r_{0}x}$满足这个方程。

也就是说，只需要找一个特殊的系数r，即可找到方程的解。感觉还挺简单的。

上述的$(r^2+pr+q)$就称为，方程的特征方程

解法

看特征方程根的分类，直接代入公式即可。特征方程和二次方程的求根公式差不多

特征方程如下
$$r^2+pr+q=0$$

①两个不同解

$$\begin{gathered} 若\Delta =p^2-4q>0 \\ {r}_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}，r_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2} \\ 则y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x} \end{gathered}$$
意味着有两个解$y_1=e^{r_{1}x}$和$y_2=e^{r_{2}x}$满足方程。对于二阶方程而言，这两个线性无关的解，恰好组成了方程的通解。

②相同解

$$\begin{gathered} 若\Delta =p^2-4q=0 \\ {r}_1=r_2=\frac{-p}{2} \\ 则y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x} \end{gathered}$$
只能得到一个解$y_1=e^{r_{1}x}$因为需要两个线性无关的解，即满足两个解相除不为常数$\frac{y_1}{y_2}=u(x)$，$y_2=u(x)e^{r_{1}x}$此时把$y_2$。
$$\begin{gathered} y_2=u{e}^{r_{1}x},y_2^{\prime }=u^{\prime }{e}^{r_{1}x}+r_{1}u{e}^{r_{1}x} \\ {y}_2^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }{e}^{r_{1}x}+2r_1{u}^{\prime }{e}^{r_{1}x}+r_1^{2}u{e}^{r_{1}x} \\ 代入得e^{r_{1}x}[u(r_1^2+p{r}_1+q)+u^{\prime }(2r_1+p)+u^{\prime \prime }] \\ {r}_1=-\frac{p}{2}，所以(r_1^2+p{r}_1+q)=0,(2r_1+p)=0 \\ 得到u^{\prime \prime }=0 \end{gathered}$$
满足$u^{\prime \prime }=0$的函数很多，我们需要构造的函数u只需要满足$u\ne 常数,u^{\prime \prime }=0$，选择一个简单的函数$u(x)=x$

故最后得到两个线性无关的解$y_1=e^{r_{1}x}$和$y_2=x{e}^{r_{2}x}$。

通解$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$

③虚数解

$$\begin{gathered} 若\Delta =p^2-4q>0 \\ {r}_1=\alpha +\beta i，r_2=\alpha -\beta i \\ 则y=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x)) \end{gathered}$$

虚数解的原理比较特别。实际上，因为两个虚数解不相同，得到解线性无关。因此可以直接作为方程的解。但是为了得到实数解做了一定的转化。

共轭关系：基本性质就是实部相等，虚部相反。相加除以二是实部，相减除以二是虚部。
$$\begin{gathered} 首先得到两个解y_1=e^{\alpha +\beta i}和y_2=e^{\alpha -\beta i} \\ 先使用欧拉公式e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta 进行变换 \\ 得y_1=e^{\alpha }{e}^{\beta i}=e^{\alpha }(cos\beta +isin\beta )和y_2=e^{\alpha }(cos\beta -isin\beta ) \\ 这个时候y_1和y_2满足共轭关系，y_2={\bar{y}}_1。 \\ （Why?要进行欧拉公式这一步，因为原来的r_1,r_2虽然共轭，但是函数y_1,y_2不共轭。欧拉公式之后就共轭了） \\ 因为共轭关系下，相加除以二是实部，相减除以二是虚部。 \\ 令Y_1=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{\alpha }cos\beta \\ {Y}_2=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{\alpha }sin\beta \\ 这样就得到了实数函数Y_1,Y_2 \\ {Y}_1,Y_2是y_1,y_2的线性组合，同时线性无关，因此Y_1,Y_2是方程的通解 \end{gathered}$$

【练习题】

直接判断之后代入公式
$$\begin{gathered} 求解y^{\prime \prime }-2y^{\prime }-3y=0 \\ 符合y″+py\prime +qy=0 \\ 特征方程为r^2-2r-3=0 \\ \Delta =p^2-4q=4+12>0 \\ {r}_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}=\frac{2+\sqrt{16}}{2}=3，r_2=-1 \\ 最终y=C_1{e}^{3x}-C_2{e}^x \end{gathered}$$

n阶

n阶 常系数 齐次 线性 微分方程的表达式如下
$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_{0}y=0$$
特征方程为
$$r^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$$

【练习题】

$$\begin{gathered} y^{(4)}-2y^{(3)}+5y^{(2)}=0 \\ y=C_1+C_{2}x+(C_{3}cos2x+C_{4}sin2x)e^x \end{gathered}$$

第八节 常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：
$$y″+py\prime +qy=f(x)（p,q是常数,f(x)\ne 0）$$

第六节定理3，告诉我们非齐次方程的通解=齐次方程的通解+特解

书上只介绍$f(x)$取两种特殊形式的时候，求特解的方法。

这种方法叫待定系数法，特点是不需要积分就能求出特解$y^{\ast }$

情况一 $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$

$P_m(x)$指的是m次多项式$a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

$$y″+py\prime +qy=e^{\lambda x}{P}_m(x)$$

书上说，推测$y^{\ast }=R(x)e^{\lambda x}$是方程的解，R(x)是某个多项式
$$\begin{gathered} y^{\ast }=e^{\lambda x}R(x) \\ {y}^{\ast }{}^{\prime }=e^{\lambda x}[\lambda R(x)+R^{\prime }(x)] \\ {y}^{\ast }{}^{\prime \prime }=e^{\lambda x}[{\lambda }^{2}R(x)+2\lambda R^{\prime }(x)+R^{\prime \prime }(x)] \\ 代入得e^{\lambda x}\{[{\lambda }^{2}R(x)+2\lambda R^{\prime }(x)+R^{\prime \prime }(x)]+p[\lambda R(x)+R^{\prime }(x)]+qR(x)\}=e^{\lambda x}{P}_m(x) \\ 消去e^{\lambda x} \\ R(x)({\lambda }^2+p\lambda +q)+R^{\prime }(x)(2\lambda +p)+R^{\prime \prime }(x)=P_m(x) \end{gathered}$$
①$\lambda$不是方程的根，${\lambda }^2+p\lambda +q\ne 0$

$R(x)$与$P_m$同阶，因此R(x)是一个m阶多项式

可以令$R(x)=R_m(x)（R_m=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0）$

通过比较$x^i$的系数，求出$b_i$的值

②$\lambda$是方程的单次根，${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，但是$2\lambda +p\ne 0$

$R(x)$被消掉了，$R^{\prime }(x)$与$P_m$同阶，因此R(x)是一个m+1阶多项式

可以令$R(x)=x{R}_m(x)$，通过比较$x^i$的系数，求出$b_i$的值

③$\lambda$不是方程的重根，${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，同时$\lambda +p=0$

$R(x)、R^{\prime }(x)$都被消掉了，$R^{\prime \prime }(x)$与$P_m$同阶，因此R(x)是一个m+2阶多项式

可以令$R(x)=x^2{R}_m(x)$，通过比较$x^i$的系数，求出$b_i$的值

【练习题】

$$求y″-2y\prime -3y=3x+1的一个特解$$

$$\begin{gathered} 先写出已知条件p=-2，q=-3，\lambda =0，P_m(x)为一次多项式 \\ \because \lambda =0不是特征方程r^2-2r-3=0的根 \\ \therefore y^{\ast }=ax+b \\ 代入得-3ax-2a-3b=3x+1 \\ \{\begin{array}{l}-3a=3\\ -(2a+3b)=1\end{array} \\ 解得\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array} \end{gathered}$$

情况二 $f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]$

方程如下
$$y″+py\prime +qy=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]$$

特解
$$\begin{gathered} y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}(R_l^{(1)}(x)cos\omega x+R_l^{(2)}(x)sin\omega x) \\ l=max\{m,n\} \\ {R}_l^{(1)}、R_l^{(2)}是l阶多项式 \\ k是特征方程中含根\lambda +\omega i(或\lambda -\omega i)的重数 \end{gathered}$$

i$的系数，求出$b_i$的值

【练习题】

$$求y″-2y\prime -3y=3x+1的一个特解$$

$$\begin{gathered} 先写出已知条件p=-2，q=-3，\lambda =0，P_m(x)为一次多项式 \\ \because \lambda =0不是特征方程r^2-2r-3=0的根 \\ \therefore y^{\ast }=ax+b \\ 代入得-3ax-2a-3b=3x+1 \\ \{\begin{array}{l}-3a=3\\ -(2a+3b)=1\end{array} \\ 解得\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array} \end{gathered}$$

情况二 $f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]$

方程如下
$$y″+py\prime +qy=e^{\lambda x}[P_m(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]$$

特解
$$\begin{gathered} y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}(R_l^{(1)}(x)cos\omega x+R_l^{(2)}(x)sin\omega x) \\ l=max\{m,n\} \\ {R}_l^{(1)}、R_l^{(2)}是l阶多项式 \\ k是特征方程中含根\lambda +\omega i(或\lambda -\omega i)的重数 \end{gathered}$$