齐次坐标表示向量与坐标理解

转载：https://blog.csdn.net/oemt_301/article/details/103529972
在相机变换中经常会遇到利用齐次坐标进行运算的情况，以前都是感觉模模糊糊。今天看了一些文章，对它有了进一步的自我理解。

先下结论：
(x, y, z, 1) 表示坐标点：表示坐标系中一个固定的坐标点
(x, y, z, 0) 表示向量：表示坐标系中一个有向线段
这里可以看出，区别就是0与1。点的重点在点，向量的重点在方向。
有上面两者的定义，可以大概说点是一个固定的值，即在坐标系中可以找到该点即可；而向量主要表现在方向上，即基向量可以表示一个向量，对基向量乘以任意值，那么这个向量所表达的意义还是不变的。

而这里为什么齐次坐标中最后一项“1”，可以表示一个固定点，这里我们对坐标点乘以任意值w（w≠0），那么点变为(wx, wy, wz, w)，这里可以看到不管w是任何值，我们只需要将改变后的坐标点最后一项变为1，即对坐标点同时除以w，便可以将该坐标点还原，假设如何最后一项是零的话，那么便会失去该性质。
而对于向量，这里再次强调，它只是表示一个有向线段，不管这个线段有多长，只要我们知道它的方向，我们便可以表示出该向量。而0即区分可坐标点，同时也可以表示该向量。
也可这样理解（可能不严谨），点的长度要一定，向量的长度可以随意。

以上是自我理解，下面是一些较严谨的证明，这里依然一xyz坐标系为例。
对于一个向量V，可以用一组坐标表示(vx, vy, vz)，使得V = vx×x + vy×y + vz×z (1)
对于一个点P，也可以用一组坐标表示(px, py, pz)，使得P-O = px×x + py×y + pz×z (2)
对式(2)经过变换，可得P = px×x + py×y + pz×z + O (3)
对式(1)以矩阵形式表示为：V = (vx vy vz 0)T * (x y z o)
对式(3)以矩阵形式表示为：P = (px py pz 1)T * (x y z o)
这是(x y z o)可以看做坐标基矩阵。

参考：https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
https://blog.csdn.net/yinfourever/article/details/98480841