2.Tensor For Beginner -Tensor Definition

定义1（简单但错误的定义）：

Tensor = multi - dimensional array of numbers

即张量是一个多维的数字数组

标量(零阶张量)：一个数字。 eg：1；2；3；pi；3/4
一般我们不会把标量写成数组的形式，如 [ 3 ]，但你可以这么写，你愿意的话

向量(一阶张量)：
之所以叫一阶张量，是因为它是一维向下延伸的数字列表，就像一个一维数组

矩阵(二阶张量)：二维数字网格；从上到下和从左到右延伸。

这种定义确实是让我们对 什么是“张量”有所了解，但这个定义实际上是错误的。
原因是：张量确实可表示为多维数组(形式上)，但这并不是它们的根本所在，张量不是我们仅仅把一堆数字扔在一起，  张量实际上具有真正的几何意义

想要从几何上理解,就不能使用这种定义

定义2

Tensor = an object that is invariant under a change of coordinates，and...、has components that change in a special ，predicatable way under a change of coordinates

张量是一个在变化的坐标下“不变”的对象，并且具有在变化的坐标下 以“特定的可预测方式”变化的组件。

在变化的坐标下“不变”：：

拿起一支笔，让笔指向离你最近的门。  铅笔的长度不会取决于我们选择的坐标系。长度是“固有”的或者是“不变”量； 这支铅笔也指向门，这是事实，它不取决于我们使用什么坐标系，铅笔的方向在坐标系的选择下是 “固有的”或“不变的“。

组件在变化的坐标下 可预测地变换 意味着：

首先，假设这有个xyz三维坐标系，

我们可以利用该坐标系来测量铅笔，

可以看出，该铅笔由2个黄色箭头，1个绿色箭头，2个蓝色箭头组成。
所以这个铅笔可以写成坐标向量的线性组合：

以上就是将铅笔分解为向量，测量了铅笔的“组件”，“分量”只是构建铅笔所需的每个坐标向量的数量。 在这个坐标系下 组件是[2，1，2]

现在，我们换一个坐标系，

用这个坐标系去测量铅笔，可看到，该铅笔由2个黑色向量，3个紫色向量，1个红色向量组成

在该坐标系下，组件是[1，3，2]. 这就是这些向量的线性组合。

综上，使用不同的坐标系去测量同一支铅笔时，得到的组件不同。-----------铅笔的组件不是“不变 的”，  即铅笔的组件时可变的，它们根据使用的坐标系而变化。

所以 ，  铅笔是“不变的‘，但坐标是”可变”的。（Vectors are invariant，Vector components are not invariant）

新问题：如何在一个坐标系切换到另一个坐标系， 如何在这两个坐标系来回切换， 如何在不同的组件集之间来回切换。

定义3

Tensor = a collection of vectors and covectors combined together using the tensor product、

张量 是使用“张量积”组合在一起的“向量”和“协向量” 的集合。

“Tensors” are just “vectors” and “covectors” combined together in different ways，using this thing called the tensor product。

tensor product：张量积

从微积分上理解的张量的定义：

partial derivatives ： 偏导数

gradients：梯度

jacobian matrix ：雅可比矩阵