将两个的有序数列合并成一个有序数列,我们称之为"归并"。
归并排序( Merge Sort )就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现,归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。
1.从下往上的归并排序:将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列,然后将这些数列两两合并;得到若干个长度为2的有序数列,再将这些数列两两合并;得到若干个长度为4的有序数列,再将它们两两合并;直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。(参考下面的图2.从上往下的归并排序:它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步:
①分解﹣将当前区间一分为二,即求分裂点 mid =( low + high )/2;
②求解﹣递归地对两个子区间 a [ low ... mid ] 和 a [ mid +1.. high ]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。
③合并﹣将已排序的两个子区间 a [ low .. mid] 和 a [ mid +1.. high ]归并为一个有序的区间 a [ low .. high ]。
下面的图片很清晰的反映了“从下往上”和“从上往下”的归并排序的区别。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include
#include
// 归并排序:将一个数组中两个相邻有序空间合并成一个
// 参数说明
// a -- 包含两个有序区间的数组
// start -- 第一个有序区间的起始地址
// mid -- 第一个有序区间的结束地址。也是第二个有序区间的起始地址
// end -- 第二个有序区间的结束地址
void merge(int a[], int start, int mid, int end) {
int* tmp = (int*)malloc((end - start + 1) * sizeof(int));
// tmp是汇总2个有序区间的临时区域。
int i = start; // 第一个有序区的索引
int j = mid + 1; // 第二个有序区的索引
int k = 0; // 临时区域的索引
while (i <= mid && j <= end) {
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
}
else {
tmp[k++] = a[j++];
}
}
while (i <= mid) {
tmp[k++] = a[i++];
}
while (j <= end) {
tmp[k++] = a[j++]; // 将两个有序区间合并
}
// 排序后的元素,全部都整合到数组a中
for (i = 0; i < k; i++) {
a[start + i] = tmp[i];
}
free(tmp);
tmp = NULL;
}
// 归并排序--从上往下
// 参数说明:
// a -- 待排序数组
// start -- 数组的起始地址
// end -- 数组的结束地址
//
void merge_sort_up_to_down(int a[], int start, int end) {
if (a == NULL || start >= end) {
return;
}
int mid = (end + start) / 2;
merge_sort_up_to_down(a, start, mid); // 递归排序a[start..mid]
merge_sort_up_to_down(a, mid + 1, end); // 递归排序a[mid..end]
// a[start..mid]和a[mid..end]是两个有序空间
// 将它们排序成一个有序空间a[start..end]
merge(a, start, mid, end);
}
int main() {
int arr[] = { 9,5,1,6,2,3,0,4,8,7 };
merge_sort_up_to_down(arr, 0, 9);
for (int i = 0; i < 10; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
从上往下的归并排序采用了递归地方式实现。它的原理非常简单,如下图:
通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时:
1.将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{80,30,60,40}和 {20,10,50,70}组成。对两个有序子树组进行排序即可。
2.将子数组{80,30,60,40}看作由两个有序的子数组{80,30}和{60,40}组成。
将子数组{20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{20,10}和50,70}组成。
3.将子数组{80,30}看作由两个有序的子数组{80}和{30}组成。
将子数组{60,40}看作由两个有序的子数织(60}和{40}组成。
将子数组{20,10}看作由两个有序的子1(20}和{10}组成。
将子数组{50,70}看作由两个有序的子数组50}和{70}组成。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include
#include
// 归并排序:将一个数组中两个相邻有序空间合并成一个
// 参数说明
// a -- 包含两个有序区间的数组
// start -- 第一个有序区间的起始地址
// mid -- 第一个有序区间的结束地址。也是第二个有序区间的起始地址
// end -- 第二个有序区间的结束地址
void merge(int a[], int start, int mid, int end) {
int* tmp = (int*)malloc((end - start + 1) * sizeof(int));
// tmp是汇总2个有序区间的临时区域。
int i = start; // 第一个有序区的索引
int j = mid + 1; // 第二个有序区的索引
int k = 0; // 临时区域的索引
while (i <= mid && j <= end) {
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
}
else {
tmp[k++] = a[j++];
}
}
while (i <= mid) {
tmp[k++] = a[i++];
}
while (j <= end) {
tmp[k++] = a[j++]; // 将两个有序区间合并
}
// 排序后的元素,全部都整合到数组a中
for (i = 0; i < k; i++) {
a[start + i] = tmp[i];
}
free(tmp);
tmp = NULL;
}
// 对数组a做若干次合并:数组a的总长度为len,将它分为若干个长度为gap的数组;
// 将“没两个相邻的子数组”进项归并排序
//
// 参数说明
// a -- 待排序的数组
// len -- 数组的长度
// gap -- 子数组的长度
void merge_groups(int a[], int len, int gap) {
int i;
int len_2 = 2 * gap; // 两个相邻子数组的长度
// 将“每两个相邻的子数组”进行合并排序
for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < len; i += (2 * gap)) {
merge(a, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
}
// 若 i+gap-1 < len-1,则剩余一个组数组没有配对
// 将该自数字合并到已排序的数组中
if (i + gap - 1 < len - 1) {
merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);
}
}
// 归并排序 从下往上
// 参数说明
// a -- 待排序的数组
// b -- 数组长度
void merge_sort_down_to_up(int a[], int len) {
int n;
if (a == NULL || a <= 0) {
return;
}
for (n = 1; n < len; n *= 2) {
merge_groups(a, len, n);
}
}
int main() {
int arr[] = { 9,5,1,6,2,3,0,4,8,7 };
merge_sort_down_to_up(arr, 10);
for (int i = 0; i < 10; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
从下往上的归并排序的思想正好与从上往下的归并排序相反。如下图:
通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时:
1.将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50}和{70}组成。
2.将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20}和{50,70}。
3.将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80}和{10,20,50,70}。
4.将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。
归并排序的时间复杂度是 O ( N * IgN )。
假设被排序的数列中有 N 个数。遍历一趟的时间复杂度是 O ( N ),需要遍历多少次呢?
归并排序的形式就是一棵二叉树,它需要遍历的次数就是二叉树的深度,而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是 O ( N * lgN )。
归并排序是稳定的算法,它满足稳定算法的定义。
算法稳定性:假设在数列中存在 a[i]= a[j] ,若在排序之前, a [i]在 a[j] 前面并且排序之后, a [i]仍然在 a [ j ]前面。则这个排序算法是稳定的!