力扣每日一题：279. 完全平方数

题目：279. 完全平方数

难度： 中等

题目：

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例1

输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例2

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

• `1 <= n <= 10^4

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/
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解题思路及代码

题意是：求解若干个由完全平方数（1、4、9、16…）组成之和为n的最少个数，可以将题目这样理解：给定一系列硬币：[1, 4, 9, 16,…]，可以重复选取，找出值为n的最小硬币组合。这样就把问题转换为了完全背包问题。

（1）完全背包问题-动态规划

可以根据力扣每日一题：518. 零钱兑换 II得出思路：

• 首先，将所有可能的平方数加入coins数组，并得出其大小m
• 构建二维dp[m + 1][n + 1]，dp[i][j]表示前i个硬币中构成金额j的最小组合数。
• 遍历coins，当前的硬币为coin。所以状态转移方程有以下两种情况：
  • j < coin，不取当前硬币， dp[i][j] = dp[i - 1][j]
  • j >= coin，即取当前硬币，dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coin] + 1)。选择不取硬币达到j的金额和加上当前硬币等于金额j中的较小值。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        
        //2.由518.零钱兑换改进
        //可以理解为，平方数[1,4,9,16...]为零钱
        vector<int> coins;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++)
        {
            coins.push_back(i * i);
        }
        int m = coins.size();
        //dp[i][j]表示：前i个硬币构成金额j的最小硬币数
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = 0;

        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            int coin = coins[i - 1];
            for (int j = 0; j <= n; j++)
            {
                if (j < coin)//不取
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
                else
                {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coin] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

（2）动态规划+空间优化

背包问题都可降维，该题也不例外。只需遍历所有平方数，根据之前的金额加上当前金额取出最小值，而后结果为最小值加1就可求得当前的最小值。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        
        vector<int> dp(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int minn = INT_MAX;
            for (int j = 1; j * j <= i; j++)
            {
                minn = min(minn, dp[i - j * j]);
            }
            dp[i] = minn + 1;
        }
        return dp[n];
    }
};

（3）BFS

        7
       / \ 
      6   3
    / \    \
   5   2    2
  / \   \    
1    4   1    

如上图，对于数字7可以通过BFS层序遍历求解：

• 7入队列，7 - 1 = 6,7 - 4 = 3,7 - 9 = -2，因为6 和 3为正数且没有访问过，所以6 和 3加入队列。
• 同理，接着在同一层里分别对6和3进行如上操作，得出下一层。直到任意一个值减去平方数为0，比如：1 - 1 = 0，4 - 4 = 0，那么遍历结束。对应的层数为最小个数。

所以，只需一个队列和一个哈希表进行层序遍历就可以了，其中哈希表用来标记访问过的数字，减少重复计算。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        
        //3.BFS
        queue<int> que;//队列
        que.push(n);
        unordered_set<int> visit;//标记是否已被访问
        visit.insert(n);
        int level = 0;

        while (!que.empty())
        {
            int len = que.size();
            level++;
            //遍历一层
            for (int i = 0; i < len; i++)
            {
                int tmp = que.front();
                que.pop();
                for (int j = 1; j * j <= tmp; j++)
                {
                    int num = tmp - j * j;
                    if (num == 0)
                    {
                        return level;
                    }
                    if (visit.count(num) == 0)
                    {
                        visit.insert(num);
                        que.push(num);
                    }
                }
            }
        }
        return level;


    }
};