深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合

模型选择

例子:预测谁会偿还贷款

  • 银行雇你来调查谁会偿还贷款
    • 你得到了100个申请人的信息
    • 其中五个人在3年内违约了

发现:

  • 5个人在面试的时候都穿
  • 模型也发现了这个强信号
  • 这会有什么问题?

训练误差和泛化误差

  • 训练误差:模型在训练数据上的误差
  • 泛化误差:模型在新数据上的误差(主要关注)
  • 例子:根据模考成绩来预测未来考试分数
    • 在过去的考试中表现很好(训练误差)不代表未来考试一定会好(泛化误差)
    • 学生A通过背书在模考中拿到好成绩
    • 学生B知道答案后面的原因

验证数据集和测试数据集

  • 验证数据集:一个用来评估模型好坏的数据集。用来调整超参数
    • 例如拿出50%的训练数据
    • 不要跟训练数据混在一起(常犯错误)
  • 测试数据集:只用一次的数据集。是一个新的数据集,不能用来调整超参数
    • 例如未来考试
    • 出价的房子的实际成交价
    • 用在Kaggle私有排行榜中的数据集

K-折交叉验证

  • 在没有足够多数据时使用(这是常态)
  • 算法:
    • 将训练数据分割成K块
    • For i = 1,…,K
      • 使用第 i 块作为验证数据集,其余的做为训练数据集
    • 报告K个验证集误差的平均
  • 常用:K=510

总结

  • 训练数据集:训练模型参数
  • 验证数据集:选择模型超参数
  • 非大数据集上通常使用K-折交叉验证

过拟合和欠拟合

深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合_第1张图片

深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合_第2张图片

模型容量:模型的复杂度,(低:简单模型,高:复杂模型)

根据数据的简单和复杂来选择模型容量

模型容量

  • 拟合各种函数的能力

  • 低容量的模型难以拟合训练数据

  • 高容量的模型可以记住所有的训练数据

    深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合_第3张图片

模型容量的影响

深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合_第4张图片

当模型容量较为低时,训练误差比较高,随着模型容量的增加,训练误差开始下降;泛化误差会降到某个点时候会上升,在欠拟合和过拟合中会有一个最优点。

深度学习核心:模型足够大,通过各种手段去控制模型容量,使得泛化误差下降

估计模型容量

  • 难以在不同的种类算法之间比较

    • 例如树模型的神经网络
  • 给定一个模型种类,将有两个主要因素

    • 参数的个数

    • 参数值的选择范围

      若参数选择范围大,则模型复杂度比较高,若小,则模型容量低

    深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合_第5张图片

    左:线性模型,数据数:d,参数个数:d+1

    右:单隐藏层感知机,隐藏层:m,分类类别数:k,参数个数:(d+1)m+(m+1)k

    根据参数个数来简单判断模型容量的高低,右>左

VC维

  • 统计学习理论的一个核心思想
  • 对于一个分类模型,VC等于一个最大的数据集的大小,不管如何给定标号,都存在一个模型来对它进行完美分类
线性分类器的VC维
  • 2维输入的感知机,VC维=3

    • 能够分类任何三个点,但不是4个(XOR)

      深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合_第6张图片

  • 支持N维输入的感知机的VC维是N+1

  • 一些多层感知机的VC维O(Nlog2N)

VC维的用处
  • 提供为什么一个模型好的理论依据
    • 它可以衡量训练误差和泛化误差之间的间隔
  • 但深度学习中很少使用
    • 衡量不是很准确
    • 计算深度学习模型的VC维很困难

数据复杂度

多个重要因素

  • 样本个数
  • 每个样本的元素个数
  • 时间、空间结构
  • 多样性

总结

  • 模型容量需要匹配数据复杂度,否则可能导致欠拟合和过拟合
  • 统计机器学习提供数学工具来衡量模型复杂度
  • 实际中一般靠观察训练误差和验证误差

代码实现

模型选择、欠拟合和过拟合

通过多项式拟合来交互地探索这些概念

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

使用以下三阶多项式来生成训练和测试数据的标签:
y = 5 + 1.2 x − 3.4 x 2 / 2 ! + 5.6 x 3 / 3 ! + ϵ w h e r e ϵ ∼ N ( 0 , 0. 1 2 ) y=5+1.2x−3.4x^{2}/2!+5.6x^{3}/3!+ϵ where ϵ∼N(0,0.1^{2}) y=5+1.2x3.4x2/2!+5.6x3/3!+ϵwhereϵN(0,0.12)

max_degree = 20 
n_train, n_test = 100, 100 #100个训练样本 100个测试样本(验证样本)
true_w = np.zeros(max_degree)
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

看一下前2个样本

true_w, features, poly_features, labels = [
    torch.tensor(x, dtype=torch.float32)
    for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

结果:

深度学习笔记7:模型选择+过拟合和欠拟合_第7张图片

实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  
    """评估给定数据集上模型的损失。"""
    metric = d2l.Accumulator(2)
    for X, y in data_iter:
        out = net(X) #输出
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

定义训练函数

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss()
    input_shape = train_features.shape[-1]
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False)) #定义单层的线性回归网络
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1, 1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1, 1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(
                net, train_iter, loss), evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

三阶多项式函数拟合(正态)

train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4], #数据和模型相匹配
      labels[:n_train], labels[n_train:])

结果:weight: [[ 5.005174 1.2039171 -3.392575 5.5782466]]

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线性函数拟合(欠拟合)

train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

结果:weight: [[3.5490751 3.4069588]]

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高阶多项式函数拟合(过拟合)

train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

结果:

weight: [[ 4.9742413 1.2692064 -3.239483 5.2089176 -0.4539587 1.2671229
-0.1390583 0.27213308 -0.10114118 0.10512644 -0.0553343 -0.19972092
0.16716152 0.20946853 0.13661966 0.22037429 -0.22302164 -0.16093664
0.16818342 -0.14300445]]

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