动手学习深度学习（总结梳理）——4.模型选择，过拟合，欠拟合

目录

1. 从训练误差和泛化误差 ——》 模型复杂度 ——》过拟合与欠拟合 ——》模型复杂性 ——》 引入验证集 ——》K折交叉验证 ——》数据大小和模型容量 的理论 （来自李沐老师的官网）

2. 多项式回归

2.1 生成数据集

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2.2 对模型进行训练和测试

2.3 三阶多项式函数拟合（正常）

2.4 线性函数拟合(欠拟合)

 2.5 高阶多项式函数拟合(过拟合)

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过拟合和欠拟合		数据
		简单	复杂
模型容量	低	正常	欠拟合
	高	过拟合	正常

2. 多项式回归

我们现在可以通过多项式拟合来探索这些概念

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

2.1 生成数据集

这里使用np.power生成带有阶数的数据，本来features是一个size * 1的张量，借助power函数和np.arrange(max_degree).reshape(1,-1)，使其变成一个size * 20的向量，每个向量对相应位置的索引取得阶乘。从而实现X @ W = Y ，即size * 1的向量。 

max_degree = 20 # 多项式最大阶数
n_train, n_test = 100, 100 # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
'''生成带有阶数的特征'''
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

 将他们转化为tensor张量，以便可以在pytorch中进行梯度运算。

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

# 探索数据
features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

2.2 对模型进行训练和测试

首先让我们实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失，其中Accumulator类是我们之前在softmax章节封装过的一个累加器类

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

训练函数

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    ''' 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它 '''
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

2.3 三阶多项式函数拟合（正常）

我们将首先使用三阶多项式函数，它与数据生成函数的阶数相同。 结果表明，该模型能有效降低训练损失和测试损失。 学习到的模型参数也接近真实值 w = [5, 1.2, -3.4, 5.6]

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

2.4 线性函数拟合(欠拟合)

让我们再看看线性函数拟合，减少该模型的训练损失相对困难。 在最后一个迭代周期完成后，训练损失仍然很高。 当用来拟合非线性模式（如这里的三阶多项式函数）时，线性模型容易欠拟合。

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

 2.5 高阶多项式函数拟合(过拟合)

让我们尝试使用一个阶数过高的多项式来训练模型。 在这种情况下，没有足够的数据用于学到高阶系数应该具有接近于零的值。 因此，这个过于复杂的模型会轻易受到训练数据中噪声的影响。 虽然训练损失可以有效地降低，但测试损失仍然很高。 结果表明，复杂模型对数据造成了过拟合。

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)