分治策略——最大子数组的问题(附伪代码)

什么是最大子数组？

如图所示，为寻找数组A的和最大的非空连续子数组。我们称这样的连续子数组为最大子数组（maximum subarray）

什么是分治策略？

1、分解（Divide） 步骤将问题划分为一些小问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小
2、解决（Conquer） 步骤递归地求解出子问题，如果子问题的规模足够小，则停止递归，直接求解
3、合并（Combine） 步骤将子问题的解组合成原问题的解

对最大子数组使用分治策略

1、分解 low表示数组最小下标，mid表示数组中间下标，high表示数组最大下标。考虑数组A[low,…,mid]和A[mid+1,…high]。A[low,…,high]的任何连续子数组A[i,…,j]所处的位置有三种可能：

（1）完全的处在左侧的子数组A[low,…,mid]内。

（2）完全的处在右侧的子数组A[mid+1,…high]内。

（3）跨越了中点mid，即low<=i<=mid, mid+1<=j<=high

2、求解 ：对于（1）和（2）中的两个情况，这两个子问题仍然是最大子数组问题，也即是说与原问题相同的规模较小的子问题。继续分解，知道出现情况（3），最终解决。因此下面的重点放在第（3）个情况，寻找跨越中点的最大子数组，最后在这三种情况中选择和最大的，既是问题的解。通过伪代码

对于（3）中的情况，分析可知任何跨越了中点的子数组都由两个子数组A[i,…,mid]和A[mid+1,…j]组成，找出这一数组的过程由伪代码 FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high) 给出。
3、合并 ：将三种情况合并，便是最终最大子数组问题的解决方法最后给出

FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high)

left-sum = -∞
sum = 0
for i = mid downto low
{
    sum = sum+A[i]
    if (sum>left-sum){
        left-sum = sum
        max-left = i
       }
}
       
right-sum = -∞
sum = 0
for j=mid+1 to high
{
   sum = sum+A[j]
  if(sum>right-sum){
  right-sum = sum
  max-right = j
  }
}
return (max-left,max-right,left-sum + right-sum)

FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,high)

if(high == low){
     return (low,high,A[low])
}
else mid=[(low+high)/2]
    (left-low,left-high,left-sum) = FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,mid)
    (right-low,right-high,right-sum) = FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,mid+1,high)
    (cross-low,cross-high,cross-sum) = FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high)
   if (left-sum>=right and left-sum>=cross-sum)
      return (left-low,left-high,left-sum)
   elseif(right-sum>=left-sum and right-sum>=cross-sum)
    return (right-low,right-high,right-sum)
   else return (cross-low,cross-high,cross-sum)