2016年天梯赛初赛题集 7-15 长城 (30分) （几何）

原题

正如我们所知，中国古代长城的建造是为了抵御外敌入侵。在长城上，建造了许多烽火台。每个烽火台都监视着一个特定的地区范围。一旦某个地区有外敌入侵，值守在对应烽火台上的士兵就会将敌情通报给周围的烽火台，并迅速接力地传递到总部。

现在如图1所示，若水平为南北方向、垂直为海拔高度方向，假设长城就是依次相联的一系列线段，而且在此范围内的任一垂直线与这些线段有且仅有唯一的交点。

图 1

进一步地，假设烽火台只能建造在线段的端点处。我们认为烽火台本身是没有高度的，每个烽火台只负责向北方（图1中向左）瞭望，而且一旦有外敌入侵，只要敌人与烽火台之间未被山体遮挡，哨兵就会立即察觉。当然，按照这一军规，对于南侧的敌情各烽火台并不负责任。一旦哨兵发现敌情，他就会立即以狼烟或烽火的形式，向其南方的烽火台传递警报，直到位于最南侧的总部。

以图2中的长城为例，负责守卫的四个烽火台用蓝白圆点示意，最南侧的总部用红色圆点示意。如果红色星形标示的地方出现敌情，将被哨兵们发现并沿红色折线将警报传递到总部。当然，就这个例子而言只需两个烽火台的协作，但其他位置的敌情可能需要更多。

然而反过来，即便这里的4个烽火台全部参与，依然有不能覆盖的（黄色）区域。

图 2

另外，为避免歧义，我们在这里约定，与某个烽火台的视线刚好相切的区域都认为可以被该烽火台所监视。以图3中的长城为例，若A、B、C、D点均共线，且在D点设置一处烽火台，则A、B、C以及线段BC上的任何一点都在该烽火台的监视范围之内。

图 3

好了，倘若你是秦始皇的太尉，为不致出现更多孟姜女式的悲剧，如何在保证长城安全的前提下，使消耗的民力（建造的烽火台）最少呢？

输入格式：
输入在第一行给出一个正整数N（3 ≤ N ≤10⁵），即刻画长城边缘的折线顶点（含起点和终点）数。随后N行，每行给出一个顶点的x和y坐标，其间以空格分隔。注意顶点从南到北依次给出，第一个顶点为总部所在位置。坐标为区间[−10⁹,10⁹)内的整数，且没有重合点。

输出格式：

在一行中输出所需建造烽火台（不含总部）的最少数目。

输入样例：

10
67 32
48 -49
32 53
22 -44
19 22
11 40
10 -65
-1 -23
-3 31
-7 59

输出样例：

2

题意

通过在山上修建烽火台，以便能够看到山的全貌，问最少需要修建多少个烽火台

思路

由上述图二可知，烽火台死角一般都是凹下去的地方，为了能够看到这个死角，就必须在这个死角之后的第一个凸点建立烽火台（从右向左看）
用数组模拟栈来辅助判断，依次把点加入栈，当栈内有大于两个点时，将新加入的点与栈顶两个点进行比较，如果不是凸点则弹栈，如果是那就是设置烽火台的地方，注意特判总部

代码

//7-15 长城 (30分)
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long ll;

int n , c;
set<int>ans;
ll x[N] , y[N] , s[N];

//为了防止除到零，在计算斜率的时候，把分母乘了过去 
//按照斜率来看b是凹点时，返回true,或者是通过向量ac和ab的叉乘积小于0（ab在ac下面）等于0（三点共线）返回true
bool check(int a,int b,int c) 
{
    return (y[b] - y[a]) * (x[c] - x[a]) <= (y[c] - y[a]) * (x[b] - x[a]);
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i = 0 ; i < n ; i++)
	{
		cin>>x[i]>>y[i]; 
		if(c >= 1)
		{
			//凹点的下一个凸点就需要设置烽火台 
			while(c >= 2 && check(i , s[c - 1] , s[c - 2]))
				c--;
			if(s[c - 1])	//总部不算 
				ans.insert(s[c - 1]);	//用集合防止重复加入点 
		}
		s[c++] = i;
	} 
	
	cout<<ans.size();
	return 0;
}