River Chandler
River Chandler

初级数值计算理论总结

  • 本文用于总结复习与研究生面试
    • 一问，小伙子会不会数值计算啊
    • 一答：会
    • 二问：哦，讲讲看
    • 二答：讲不出来
    • 三问：......

数值求根

f(x)=0

  • 二分法
  • Jacobi 迭代法

x_{k+1}=g(x_k)

  • Jacobi 迭代改进算法（事后加速法）（根位置x^*）

x_{k+1}=g(x_k)

x^*=g(x^*)

x_{k+1}-x^*=g(x_k)-g(x^*)=g'(\zeta )(x_k-x^*),\zeta \in [x_k,x^*]

x_{k+1}'=\frac{x_{k+1}-g'(\zeta)x_k}{1-g'(\zeta)}

x_{k+1}=x'_{k+1}

  • Aitken 加速算法（根位置x^*）

x_{k+1}=g(x_k),x_{k+2}=g(x_{k+1})

\left\{\begin{matrix} x_{k+1}-x^*=g'(\zeta_1)\cdot(x_k-x^*) &\zeta_1\in [x_k,x^*] \\ x_{k+2}-x^*=g'(\zeta_2)\cdot(x_{k+1}-x^*) &\zeta_2\in [x_{k+1},x^*] \end{matrix}\right.

x'_{k+1}=x_{k+2}-\frac{(x_{k+2}-x_{k+1})^2}{x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k}

x_{k+1}=x'_{k+1}

  • Newton 迭代法

x_{k+1}=g(x_k)=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}

  • 最速下降法
    • 使得

f(x)=0\rightarrow \frac{dV(x)}{dx}=0

V(x)=V(x_k)+\frac{dV(x_k)}{dx}(x-x_k)+O((x-x_k)^2)

现有任意大于零的常数\lambda

x_{k+1}=x_k-\lambda f(x)

......这种方法，反正我从来没用过

线性方程组

Ax=y

  • Gauss 消元法
    • 都能实现，只讲一下要点
      • 一定要在程序设计时注意到，零除错误，总之，这种方法很依赖微操
      • 而且很受限制，如果不能完成自主的排版工作，
      • 可以设置仅求解满秩方程
  • LU分解法
    • L：左下三角矩阵
    • U：右上三角矩阵
    • 事实上 A=LU 所以只需要求出一个就行
    • LU 分解步骤
  • (1)...以后补
  • (2)...反正
  • (3)...这种方法
  • (4)...实际中也没人用

  • Jacobi 迭代

Ax=b\rightarrow (D-L-U)x=b\rightarrow x=D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b

D对角矩阵，L下三角矩阵，U上三角矩阵（与LU分解没有任何关系，就是单纯的相加，L，U矩阵的对角线上的值均为零）

例如：

\begin{bmatrix} 1 & 2 &2 \\ 3 & 1 &2 \\ 3 &3 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & -2 & -2\\ & 0 & -2\\ & &0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & & \\ -1 &0 & \\ -1 & -1 &0 \end{bmatrix}

收敛条件是常被问到的问题：主要想偷摸问你一下矩阵的谱半径\rho（本征值的绝对值的最大值）

收敛充要条件：\rho\leq 1

  • Gauss-Seidel 迭代
    • 经过数学家的微操，认为Jacobi 迭代有一些重复的步骤，这种迭代减去了这一步骤

x_{k+1}=(D-L)^{-1}Ux_k+(D-L)^{-1}b

类似的，判别矩阵为G=(D-L)^{-1}U

  •     
    • 事实上，在编程时，我们总是使用已经计算好的表达式而不是进行矩阵运算

  • 松弛迭代法
    • 这是一种类似于最速下降法的求解方法，意义很大，我将新开一篇博客专门讲这个问题

矩阵本征值计算问题

  • Jacobi 迭代法
    • 因为有
      • 对角矩阵的特征值为对角线上的元素值
      • 矩阵的相似变换不改变矩阵的特征值
      • 已经具体介绍过，参加链接

对应博客

  • 这一节内容极其重要，我都专门写了博客，链接贴在下面
    • QR分解
    • 三对角化方法
    • 广义本征值问题

插值与拟合

  • 这一节显然就没有什么特点了，就硬背吧......
    • 插值：就是给一堆点，你给整一个函数，使得每一个点都在这个函数上
    • 拟合：就是给一堆点，给一个含参函数，通过一些方法确定这个参数，使得这个函数与点之间的距离不要太远
      • 常用的方法
        • 最小二乘法
  • 不会有人考这玩意的，这东西纯靠记忆力，记不住拉倒

数值微积分

导数

  • 各种求导公式我都列出来了，参见这篇文章 

积分

  • 这个还是有一点重要的
    • 机械积分
    • 插值积分
    • 复化积分
    • Gauss 积分
  • 尽快实现，补全

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