算法设计与分析——贪心算法

1. 贪心算法

1.1 定义

在求解最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最终解，这种求解方法就是贪心算法。

贪心算法所做的选择可以依赖于以往所做过的选择，但绝不依赖于将来的选择，也不依赖于子问题的解。

1.2 基本要素

（1）贪心选择性质：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择（即贪心选择）来达到。

（2）最优子结构性质：一个问题的最优解包含其子问题的最优解时。

1.3 基本思想

在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。

1.4 特点

（1）不是从整体考虑——得到的解可能不是全局最优

（2）简单，直接，易理解，效率高。

2. 典型案例

2.1 背包问题（物品可分割）

2.1.1 问题描述

给定一个载重量为M的背包，考虑n个物品，其中第i个物品的重量wi ,价值vi（1≤i≤n），要求把物品装满背包，且使背包内的物品价值最大。

2.1.2 问题转换

其中 wi 为第 i 个物品的重量，xi 取值为1 或 0，表示装入和不装入背包。

2.1.3 问题求解步骤

（1）首先计算每种物品单位重量的价值 vi / wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。

（2）若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。

（3）依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。

2.2 背包问题与0-1背包问题的区别

有两类背包问题（根据物品是否可以分割），如果物品不可以分割，称为0—1背包问题（动态规划）；如果物品可以分割，则称为背包问题（贪心算法）。

• 0-1背包问题只有放入和不放入两种情况，且物品不能拆分。

• 背包问题的物品可以进行拆分。

• 完全背包问题和0-1背包问题基本一致，但完全背包问题种每个物品可以选择多次。

2.3 贪心算法可以求解背包问题，那么能不能用贪心算法求解0-1背包问题？若不能，为什么？去反例说明。

不能。使用贪心算法不能得到最优解。

主要原因是：由于0-1背包问题无法将物品分割，贪心算法就无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。

举例说明：背包容量为50，n个物品如下

n	1	2	3
重量	10	20	30
价值	60	100	120
性价比	6	5	4

按照贪心算法的思想，背包容量为50，我们将物品1装入，然后将物品2装入，对物品3进行判断时，由于仅剩20的容量，重量为30的物品3没法装入，因此此时得到的价值为160，剩余20容量的空间闲置；而使用动态规划时，可以得到的最优解为220。

2.4 最优装载问题

2.4.1 问题描述

有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船，其中集装箱 i 的重量为 wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。

输入样例	输出样例
50 3 40 10 40 37 5 10 30 24 35 40 25 3 30 40 50	2 1 2 2 1 3 No answer!

2.4.1 问题转化

xi 取值为1或0，表示装入和不装入轮船。

2.4.2 贪心选择策略

按照集装箱重量最轻的先装入轮船。

2.4.2 代码实现

/*
    @author cc
    @date 2021/4/19
    @Time 10:59
    To change this template use File | Settings | File Templates.
    最优装载问题
*/
#include
#include "string.h"
#include "algorithm"

using namespace std;

// 定义集装箱的数据结构
struct load{
    int index;      // 集装箱的编号
    int weight;     // 集装箱的重量
};

load box[1001];         // 集装箱类型的数组，存储集装箱
int x[1001];            // 用于记录集装箱是否被装入，数组的下标即为集装箱的编号

// 自定义排序因子，按照重量从小到大排序
bool cmp(load a, load b){
    if(a.weight < b.weight) return true;
    return false;
}

int main(){
    int c, n;
    cout << "请输入集轮船的载重量c和集装箱的个数n（空格分开）：" << endl;
    while (cin >> c >> n){       // C/C++中定义EOF为-1  该行语句等同于C中的: while(scanf("%d,%d",&c,&n)!=EOF){
        memset(box,0, sizeof(box));      // 将数组box的每个值均初始化为0
        memset(x,0, sizeof(x));         // 将数组x的每个值均初始化为0
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {      // i++是先使用i，再让i加1；而++i是先让i加1，再使用i。
                                            // 之所以在for循环中没有影响，是因为我们并没有在i自增的前后使用i，而是执行循环体之后才使用i
            cin >> box[i].weight;
            box[i].index = i;
        }
        stable_sort(box,box+n+1,cmp);       // 该排序函数与sort区别在于，当有对个相同的元素时，stable_sort不会改变其原有的顺序
        if(box[1].weight>c){    // 如果第一个集装箱的重量就大于c则后面的均无法装入
            cout << "No answer!";
            continue;
        }
        // 贪心算法的实现，重量最轻者优先装载
        int i;
        for (i = 1; i <= n && box[i].weight <= c ; i++) {
            x[box[i].index] = 1;
            c -= box[i].weight;		// 每装入一个，c同时减少
        }
        // 输出装载的集装箱数量
        cout << i-1 << endl;
        // 输出装载集装箱的编号
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if(x[j]) cout << j << " ";
        }
        cout <