逻辑回归
线性回归 to 逻辑回归
本质：逻辑回归的本质就是在线性回归的基础上做了一个非线性的映射（变换），使得算法具有非线性的属性。
Q1:为什么要加这个非线性的变换呢？
答：因为对于线性回归，预测的变量是连续型的变量，不适合于分类型的离散变量（eg y=0或者y=1）。原因在于线性回归的定义可能让y大于0或者小于1，现在我们需要让0<=y<=1。就用sigmoid函数做映射函数。sigmod函数在负无穷大时，趋向于0；正无穷大时，趋向于1。
为什么不采用分段函数而要采用sigmoid函数呢？因为sigmoid函数是连续的，阶梯函数是不连续且不可微的
决策边界
- 当时，预测y=1
- 当时，预测y=0
等同于
- 当时，预测y=1
- 当时，预测y=0
假设对于2个特征变量的函数，，最后求解为
则当时，y=1;当时，y=0;那么决策边界就是这条线；
另外一种情况就是可能 也是决策边界，代表一个圆；
损失函数
Q2: 为什么不用线性回归的损失函数作为逻辑回归的损失函数呢？
答：继续使用线性回归的损失函数，会导致代价函数变成一个非凸函数。这就导致会有很多局部最小值，用梯度下降法很难保证其收敛到全局最小值。
Q3：损失函数特点？
- 当真实类别y=1时，异常概率越大，损失越小
- 当真实类别y=0时，异常概率越小，损失越大
通过控制系数的方法，将两个方程联系起来，可以得到，单个样本的损失函数为：
全部样本的损失可以取平均值
Q4:通过最大似然函数求解损失函数
代码实现
我们在线性回归的基础上，修改得到逻辑回归。主要内容为：
- 定义sigmoid方法，使用sigmoid方法生成逻辑回归模型
- 定义损失函数，并使用梯度下降法得到参数
- 将参数代入到逻辑回归模型中，得到概率
- 将概率转化为分类
import numpy as np
# 因为逻辑回归是分类问题，因此需要对评价指标进行更改
from .metrics import accuracy_score
class LogisticRegression:
def __init__(self):
"""初始化Logistic Regression模型"""
self.coef_ = None
self.intercept_ = None
self._theta = None
"""
定义sigmoid方法
参数：线性模型t
输出：sigmoid表达式
"""
def _sigmoid(self, t):
return 1. / (1. + np.exp(-t))
"""
fit方法，内部使用梯度下降法训练Logistic Regression模型
参数：训练数据集X_train, y_train, 学习率, 迭代次数
输出：训练好的模型
"""
def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4):
assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \
"the size of X_train must be equal to the size of y_train"
"""
定义逻辑回归的损失函数
参数：参数theta、构造好的矩阵X_b、标签y
输出：损失函数表达式
"""
def J(theta, X_b, y):
# 定义逻辑回归的模型：y_hat
y_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta))
try:
# 返回损失函数的表达式
return - np.sum(y*np.log(y_hat) + (1-y)*np.log(1-y_hat)) / len(y)
except:
return float('inf')
"""
损失函数的导数计算
参数：参数theta、构造好的矩阵X_b、标签y
输出：计算的表达式
"""
def dJ(theta, X_b, y):
return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) / len(y)
"""
梯度下降的过程
"""
def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
theta = initial_theta
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = dJ(theta, X_b, y)
last_theta = theta
theta = theta - eta * gradient
if (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return theta
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])
# 梯度下降的结果求出参数heta
self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta, n_iters)
# 第一个参数为截距
self.intercept_ = self._theta[0]
# 其他参数为各特征的系数
self.coef_ = self._theta[1:]
return self
"""
逻辑回归是根据概率进行分类的，因此先预测概率
参数：输入空间X_predict
输出：结果概率向量
"""
def predict_proba(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果概率向量"""
assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
"the feature number of X_predict must be equal to X_train"
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
# 将梯度下降得到的参数theta带入逻辑回归的表达式中
return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))
"""
使用X_predict的结果概率向量，将其转换为分类
参数：输入空间X_predict
输出：分类结果
"""
def predict(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果向量"""
assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
"the feature number of X_predict must be equal to X_train"
# 得到概率
proba = self.predict_proba(X_predict)
# 判断概率是否大于0.5，然后将布尔表达式得到的向量，强转为int类型，即为0-1向量
return np.array(proba >= 0.5, dtype='int')
def score(self, X_test, y_test):
"""根据测试数据集 X_test 和 y_test 确定当前模型的准确度"""
y_predict = self.predict(X_test)
return accuracy_score(y_test, y_predict)
def __repr__(self):
return "LogisticRegression()"
下面我们使用Iris数据集，来调用上面实现的逻辑回归。
数据展示
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
X = X[y<2,:2]
y = y[y<2]
plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1], color="red")
plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1], color="blue")
plt.show()
from myAlgorithm.model_selection import train_test_split
from myAlgorithm.LogisticRegression import LogisticRegression
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, seed=666)
log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X_train, y_train)
# 查看训练数据集分类准确度
log_reg.score(X_test, y_test)