acwing算法基础之基础算法--前缀和算法
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- 1 知识点
- 2 模板
1 知识点
前缀后下标尽量从1开始，当然不从1开始也是ok的。
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n a_1,a_2,a_3,...,a_n a1,a2,a3,...,an
S 1 , S 2 , S 3 , . . . S n S_1,S_2,S_3,...S_n S1,S2,S3,...Sn
S i S_i Si：原数组nums中前 i i i个元素的和，注意边界情况 S 0 = 0 S_0=0 S0=0。
前缀和的作用， O ( 1 ) O(1) O(1)时间复杂度下求取原数组中任一区间和[l,r]。
二维前缀和
初始化（类似于递推公式）：
S ( i , j ) = S ( i − 1 , j ) + S ( i , j − 1 ) − S ( i − 1 , j − 1 ) + n u m s [ i ] [ j ] S(i,j) = S(i-1,j) + S(i, j-1) - S(i-1,j-1) + nums[i][j] S(i,j)=S(i−1,j)+S(i,j−1)−S(i−1,j−1)+nums[i][j]
计算任一矩形面积：
( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)、 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)
S ( x 2 , y 2 ) − S ( x 1 − 1 , y 2 ) − S ( x 2 , y 1 − 1 ) + S ( x 1 − 1 , y 1 − 1 ) S(x_2,y_2)-S(x_1-1,y_2)-S(x_2,y_1-1)+S(x_1-1,y_1-1) S(x2,y2)−S(x1−1,y2)−S(x2,y1−1)+S(x1−1,y1−1)
2 模板
//一维前缀和
//原数组nums，它第1个元素是无效的，即nums[0]是无效的
//前缀和数组s
//原数组中[l,r]区间之和为:s[r]-s[l-1]。注意此处的l和r均不考虑无效元素nums[0]，也即下标从1开始。
int n = nums.size();
vector<int> s(n);
s[0] = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
s[i] = s[i-1] + nums[i];
}
//二维前缀和
//原数组nums,其中第0行和第0列是无效值
int n = nums.size(), m = nums[0].size();
vector<vector<int>> s(n, vector<int>(m, 0));
for (int i = 1; i < n; ++i) {
for (int j = 1; j < m; ++j) {
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + nums[i][j];
}
}
//(x1,y1) (x2,y2) 注意此处下标从1开始。
//求子矩阵的和
s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]