AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

Acwing题目入口

题目：

输入一个包含n个方程n个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含m个方程n个未知数的线性方程组示例：

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含n+1个实数，表示一个方程的n个系数以及等号右侧的常数。

输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共n行，其中第i行输出第i个未知数的解，结果保留两位小数。

如果给定线性方程组存在无数解，则输出“Infinite group solutions”。

如果给定线性方程组无解，则输出“No solution”。

数据范围
1≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过100。

输入样例：

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出样例：

1.00
-2.00
3.00

这道题和我们小学学的多元多次方程的消元法有异曲同工之妙。
我们应该怎么去做这个题呢。
转载自

算法步骤
枚举每一列c，

找到当前列绝对值最大的一行
用初等行变换(2) 把这一行换到最上面（未确定阶梯型的行，并不是第一行）
用初等行变换(1) 将该行的第一个数变成 11 （其余所有的数字依次跟着变化）
用初等行变换(3) 将下面所有行的当且列的值变成 0

然后我们有了算法步骤，我们先想办法形成一个倒金字塔的形状，然后从后向前递推各个X_i的解

然后我用了样例方便大家理解一下。

在图中我们可以看到，我们不断的让类似于反对角线的位置的数变为1。
然后从后向前推

推出来的最后结果就是a[i][n]

当然也可能存在无解和无数解的情况
无解是x的系数为0，右边的常数不为0
无数解是x的系数为0，右边的常数为0

代码如下

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N=110;
const double eps=1e-6;

double a[N][N];
int n;

void out()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)
        printf("%10.2lf",a[i][j]);
        puts("");
    }
    puts("");
}
int gauss()
{
    int r,c;
    for(r=0,c=0;c<n;c++)
    {
        int t=r;
        for(int j=r+1;j<n;j++)
        {
            if(abs(a[j][c])>abs(a[t][c]))
            t=j;
        }
        if(abs(a[t][c])<eps) continue;
        
        if(t!=r)
        for(int j=c;j<=n;j++) swap(a[t][j],a[r][j]);
        
        for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];
        
        for(int i=r+1;i<n;i++)
        {
            if(abs(a[i][c])>eps)
            {
                for(int j=n;j>=c;j--)
                {
                    a[i][j]-=a[i][c]*a[r][j];
                }
            }
        }
        r++;
       // out();
    }
    if(r<n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(abs(a[i][n])<eps)
            return 2;
        }
        return 1;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
    }
    return 0;
}


int main(void)
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=n;j++)
    scanf("%lf",&a[i][j]);
    int t=gauss();
    if(t==0)
    {
        for(int i=0;i<n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);
    }
    else if (t==1) puts("No solution");
    else
    puts("Infinite group solutions");
}