【Trie树】| AcWing 143. 最大异或对

题目描述

在给定的N个整数A₁，A₂……A_N中选出两个进行xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式
第一行输入一个整数N。

第二行输入N个整数A₁～A_N。

输出格式
输出一个整数表示答案。

数据范围

1≤N≤10⁵,
0≤A_i<2³¹

输入样例：

3
1 2 3

输出样例：

3

思路分析

0≤A_i<2³¹,即最大值是2³¹-1，即31个1，所以整数的二进制表示最大是31位，也就是说可以变成长度为31位的二进制字符串，所以进行异或运算的结果最大是1111……11 _(31个1)

根据异或的性质，不同为1，相同为0，所以两位十进制数a和b，a^b，当挑选的a和b的每个二进制位都互不相同时，最终会得到最大的异或结果_(31个1)。
既然如此话,那么我们可以这么做，每一次检索的时候,我们都走与当前 a_i 这一位相反的位置走，也就是让异或值最大，如果说没有路可以走的话,那么就走相同的路。

查找异或对的过程：

查找是相互的过程，a找到b等价于b找到a，所以与其找一个数可以找几个数匹配，倒不如让一个数可以被几个数匹配：
先把第一个数A₁存入Trie树 (初始化) ，然后A₂只能和Trie树中的A₁匹配，匹配完后A₂加入到Trie树，然后是A₃,只能和Trie树中的A₁或者A₂匹配，找到结果最大的即可，然后是A₄……依次类推，一直到A_N 。

1. ①与A_x和Trie树中A₁到A_x-1之间的数匹配； ② A_x加入Trie树 。①②这两个的顺序可以没有先后要求，因为就算先把A_x插入到Trie树，自身与自身匹配结果为0，也没什么影响，不过还是建议先匹配再插入。
2. 正常的顺序应该是A_x和A_x+1到A_N之间的数，即匹配A₁先和A₂到A_N之间的数匹配，A₂和A₃到A_N之间的数匹配，但是这样不方便插入Trie树，所以采用逆向思维。

问题关键：

1. 二进制数存入Trie树

二进制数，只有0和1，所以分支只有两个。

每个十进制数唯一对应一个二进制数，因此Trie树中从第1层到第31层，只要一个分支不同，就是选择了截然不同的数。
为了得到的结果最大，应该先从最高位开始考虑，在最高位取得最优解的前提下，再去低位找。

e.g. 假如x=(10010)₂ ，它的最大异或对应该是(01101)₂，这样就是全1了。
如果trie树中有(01101)₂的话，那么从高位开始匹配还是从低位开始匹配，匹配到的就是(01101)₂；
但是如果trie树中没有的话，假如Trie树中最大的是(01000)₂ , 第0位和第2位取相同，其它位取不同，从最高位开始匹配可以找到(01000)₂ ,但是如果从最低位匹配的话，最低位的0肯定要去找Trie树中的1，这样无论如何都匹配不到(01000)₂ 了。

2. 查找过程

给一个数x，查找Trie树中它的最大异或对：
从最高位开始检索，每一次检索的时候,我们都走与当前 a_i 这一位相反的位置走，也就是让异或值最大，如果说没有路可以走的话,那么就走相同的路。

3. 把一个整数拆成31位二进制表示

int x,t;
for (int i=30;i>-1;i--)  t=x>>i&1; 

从最高位开始取，每次取一位。
且这里只能取1或0，不能取别的数，所以不能写成t=x&(1<

代码实现

分析2³¹，
2¹⁰和10³近似，所以2³⁰大概和10⁹近似，即1e9，2³¹大概是2e9，小于3e9，可以用int型定义trie二维数组。

#include 
#define read(x) scanf("%d",&x)

using namespace std;

const int N=1e5+10;
int a[N];
int trie[N*32][2],idx=1; "idx为0的时候存储根节点，已经默认了，下一个结点从1开始"

void insert(int x)
{
    int p=0; //从根节点0开始插入
    for (int i=30;i>-1;i--) { "要保证异或结果最大，从最高位开始取，共31位，所以共取30次"
        int t=x>>i&1;  "这是一个处理过程，01串中取出每一位，每种字符串不一样，小写字母串就处理成t=a[i]-'a'，映射成列坐标"
        if (!trie[p][t]) trie[p][t]=idx++;
        p=trie[p][t];
    }
}

int find(int x) //找到一个和x异或结果最大的异或对
{
    int p=0,res=0;
    for (int i=30;i>-1;i--) {
        int t=x>>i&1;
        if (trie[p][!t]) res+=1<<i,p=trie[p][!t]; "优先考虑走不同分支，使该位的值为1，并加上相应的值：1<
        else p=trie[p][t];  "如果没有不同的分支，只能走相同的分支，那么该位就是0，不用加"
    }
    return res; //最后返回异或的结果
}

int main()
{
    int n;
    read(n);
    for (int i=0;i<n;i++) read(a[i]);
    insert(a[0]);
    int res=-1; "异或的结果必大于等于0"
    for (int i=1;i<n;i++) {
        res=max(res,find(a[i]));  //每次取最大的结果
        insert(a[i]);   "先比较，再插入Trie树"
    }
    printf("%d",res);
    
    return 0;
}

对find函数的不同思考，灵活使用位运算：

int find(int x)
{
    int p=0,res=0;
    for  (int i=30;i>-1;i--) {
        int t=x>>i&1;
        if (trie[p][!t]) res=res*2+1,p=trie[p][!t];
        else res=res*2,p=trie[p][t];
    }
    return res;
}

除了可以返回异或最大的结果，还可以返回和x异或的那个数：
所以，res=max(res,a[i]^find(a[i]));

int find(int x)
{
    int p=0,y=0;
    for  (int i=30;i>-1;i--) {
        int t=x>>i&1;
        if (trie[p][!t]) y=y*2+!t,p=trie[p][!t];
        else y=y*2+t,p=trie[p][t];
    }
    return y;
}

int find(int x)
{
    int p=0,y=0;
    for  (int i=30;i>-1;i--) {
        int t=x>>i&1;
        if (trie[p][!t]) y+=!t<<i,p=trie[p][!t];
        else y+=t<<i,p=trie[p][t];
    }
    return y;
}