HHKB Programming Contest 2022（AtCoder Beginner Contest 235）E

题意：
现在有一个连通图，且保证最小生成树唯一。你可以有$q$次操作，每次操作可以向图中加入一条原本不存在的边，且保证加完此边之后最小生成树仍然唯一，询问你当前加入的这条边是否是最小生成树的树边。
注意：每次操作都是独立的，如：第一次操作完后，并不会真的向图中加入一条边，每次加边操作时的图都是初始图。

分析：

方法一：（离线+Kruskal）

根据最小生成树唯一可以得知不会有相同的边权。回忆我们的$Kruskal$算法的过程，是按边权从小到大枚举每一条边，然后去合并集合。我们可以假设新加入的边$(u,v,w)$在最小生成树中，那么就会有当我枚举完所有的边权小于$w$的边之后，$u$和$v$仍然不连通，显然反过来也成立，即如果我们枚举完所有的边权小于$w$的边之后，如果$u$和$v$已经连通，那么新边就不是最小生成树中的边。
所以我们可以先将所有询问离线后按照新边权排序，然后弄一个双指针做$Kruskal$，枚举每一次询问，在将所有小于本次询问的边权$w$的边$(u,v,x)$做完Kruskal之后判断一下u和v是否连通即可。

时间复杂度$O(q+mlogn)$。

AC代码：

#include
#define endl '\n'
#define IO ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 4e5 + 10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 1e15;
const int mod = 1e9 + 7;

//最小生成树唯一 --> 边权唯一
//根据kruskal的正确性 --> 如果现在有一条边(u, v, w), 那么使用原图中所有小于w的边做kruskal，如果进行完之后u，v联通
//就说明这条边一定不在最小生成树中！

int n, m, q;
int p[N];
bool ans[N];

struct E {
    bool friend operator < (E a, E b) {
        return a.w < b.w;
    }
    int w, u, v;
};
struct Query {
    bool friend operator < (Query a, Query b) {
        return a.w < b.w;
    }
    int w, u, v, id;
};

vector<E> edge;
vector<Query> queries;

void init() {
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) p[i] = i;
}

int find(int x) {
    if(p[x] == x) return x;
    return p[x] = find(p[x]);
}

void unio(int a, int b) {
    int r1 = find(a), r2 = find(b);
    if(r1 != r2)
        p[r1] = r2;
}

void solve() {
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= m; ++ i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edge.push_back({w, u, v});
    }
    init();
    sort(edge.begin(), edge.end());
    for(int i = 1; i <= q; ++ i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        queries.push_back({w, u, v, i});
    }
    sort(queries.begin(), queries.end());
    int idx = 0;
    for(int i = 0; i < queries.size(); ++ i) {
        while(idx < m && edge[idx].w < queries[i].w) {
            unio(edge[idx].u, edge[idx].v);
            idx ++;
        }
        ans[queries[i].id] = find(queries[i].u) == find(queries[i].v);
    }
    
    for(int i = 1; i <= q; ++ i) cout << (ans[i] == true ? "No" : "Yes") << endl;
}

int main() {  
    IO;
    solve();
    return 0;
}
/*
*/   

方法二：(Kruskal重构树+LCA)
（留坑待补）