AM@无穷小和无穷大

abstract

• 无穷小和无穷大的概念和相关性质

本文符号说明

• 自变量$x$趋于$\ast$(表示有限值$x_0$,或无穷$\infty$)的变化过程$x\to \ast$表示:$x\to x_0$或$x\to \infty$

无穷小

• 若函数$\underset{x\to \ast }{\lim }f(x)=0$,则称$f(x)$为$x\to \ast$时的无穷小
  • 特别地,以0为极限的数列$\{x_n\}$称为$n\to \infty$时的无穷小
  • 从定义可以看出,无穷小是对具有某种性质的函数的称呼,而不是指很小(无穷小)的数
• Note:
  • 记无穷小为$\alpha$.无穷小$\alpha$的精髓在于,$x\to \ast$的极限过程中可以无限接近0,即$|\alpha |$小于任意给定的正数$ϵ(ϵ>0)$
  • 可见,任何非0的常数(或者常数函数$y=a(a\ne 0)$都无法做到这一点
  • 而常数$0$(或者$y=0$)可以满足无穷小的条件$|0|<ϵ$,因此是无穷小,并且在任意极限过程$(x\to \ast )$都是无穷小,因此$0$有特殊地位
  • 无穷小可以称为无穷小函数,更具体地称过程$x\to \ast$的无穷小函数
  • 有些函数不可能是无穷小,例如$y=1+\frac{1}{x}(x>0)$,其定义域内任何自变量过程的函数极限不小于1
• 例:$\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)=0$,所以$x-1$是$x\to 1$时的等价无穷小

无穷小和自变量变化过程

• $0$以外的任何无穷小都有其对一个的变化过程$x\to \ast$
• 这和极限相仿,提到极限一定有其对应的自变量变化过程
• 无穷小参与运算或构成的式子中,要有一致的自变量变化过程
• 无穷小是函数,因此也可以和其他一般函数一起构成其他函数解析式,只不过无穷小要强调趋于0时对应的自变量变化过程$(x\to \ast )$,脱离了变化过程,某些$\alpha$相关等式不再成立

无穷小和函数极限的关系定理

• 在自变量的同一个变化过程$x\to \ast$中,函数$f(x)$具有极限$A$的充要条件是$f(x)=A+\alpha$,$\alpha$是无穷小
  • 其中$A+\alpha$是函数而不是常数

证明

• 以$x\to x_0$为例,主要采用极限和无穷小的定义进行推理($x\to \infty$类似)

• 必要性:设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$,

  • 则由极限定义:$\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,有$|f(x)-A|<ϵ$;
  • 令$\alpha =f(x)-A$,则$|\alpha |<ϵ$,即$|\alpha -0|<ϵ$所以极限定义,$\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha =0$
  • 所以$\alpha$是$x\to x_0$时的无穷小,且$f(x)=A+\alpha$
  • 或者说,$f(x)$等于它的$(x\to x_0)$时的极限$A$与一个无穷小$\alpha$之和,其中$\alpha$可以取$f(x)-A$
  • Note:
    • 从极限运算的角度:则$\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha$=$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-A)$=$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-\underset{x\to x_0}{\lim }A$=$A-A$=0也可说明$\alpha$是$x\to x_0$时的无穷小

• 充分性:设$f(x)$=$A+\alpha$(1),其中$A$是常数,$\alpha$是$x\to x_0$时的无穷小

  • 定义法证明
    • 显然$|f(x)-A|=|\alpha |$
    • 因为$\alpha \to 0(x\to x_0)$所以$\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,$|\alpha |<ϵ$,即$|f(x)-A|<ϵ$
    • 所以$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$
  • 极限运算法:对(1)两边取极限:$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$=$\underset{x\to x_0}{\lim }(A+\alpha )$=$\underset{x\to x_0}{\lim }A$+$\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha$=$A+0$=$A$

无穷大

• 若$x\to \ast$时,$|f(x)|$可以大于预先给定的任意大正数$M$,则$f(x)$是$x\to \ast$时的无穷大
• 或者精确地说:
  • 设$f(x)$在$x_0$的某个去心领域$\mathring{U(x_0,\delta )}$(或$|x|>N\in {\mathbb{N}}_{+}$)内有定义
  • 若$\forall M$,$\exists \delta >0$(或$\exists X>0$),当$x\in \mathring{U(x_0,\delta )}$或($|x|>X$),总有$|f(x)|>M$,则称$f(x)$是$x\to x_0$(或$x\to \infty$)时的无穷大

无穷大不是数

• 无穷大$\infty$不是数,不同于很大的数(常数),而是强调自变量极限变化过程$(x\to \ast )$的函数,且$(x\to \ast )$时函数值要多大有多大

极限无穷大的说法

• 按照函数极限的定义,$x\to \ast$时是无穷大的函数$f(x)$的极限是不存在的(无穷大不是数)

• 为了便于叙述函数的这一性态,也称呼为函数的极限是无穷大的

• 总之:极限无穷大仍要归为极限不存在的大类当中,

  • "极限无穷大"是"极限不存在且函数值趋于无穷"的简称
  • 记为$\underset{x\to \ast }{\lim }f(x)=\infty$
  • 例
    • $f(x)=x^2$,$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2=\infty$
    • $f(x)=\frac{1}{x}$,$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$

• 若将定义中的$|f(x)|>M$替换为$f(x)>M$(或$f(x)<-M$),则记为$\underset{x\to \ast }{\lim }f(x)=+\infty$$(\underset{x\to \ast }{\lim }f(x)=-\infty )$

证明函数极限为无穷大

• 极限无穷大本质上是极限不存在的情况,因此和证明极限存在时的情形有所不同,这里不再借助$\forall ϵ>0$来刻画$x\to \ast$时函数和有限且确定的极限值无限接近,而采用$\forall M>0$来体现$x\to \ast$时的无穷大含义
• 证明$\underset{x\to \ast }{\lim }f(x)=\infty$的思路是,设$\forall M>0$,$\exists X>0$,当($x$满足)$0<|x-x_0|<\delta$(或$x>X$)时$|f(x)|>M$(1)
  • 从(1)求出$x$的取值范围并选定一个确定的$X$值(或$\delta$),来说明$f(x)$在$x\to \ast$时要多大有多大,即$\underset{x\to \ast }{\lim }f(x)=\infty$
• 例
  • 令$f(x)=\frac{1}{x-1}$证明$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\infty$
  • 证明:设$\forall M>0$,令$|f(x)|>M$,即$|\frac{1}{x-1}|>M$,即$|x-1|<\frac{1}{M}$
  • 令$\delta =\frac{1}{M}$,则当$x$满足$0<|x-1|<\delta$时有$|\frac{1}{x-1}|>M$成立,从而$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\infty$
  • 可见$x=1$时函数$y=\frac{1}{x-1}$的图形的铅直渐近线

无穷大和无穷小见的关系定理

• 在自变量的同一个变化过程$x\to \ast$中,函数$f(x)$为无穷大,则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小;

  • 反之,若$f(x)$是无穷小,且$f(x)\ne 0$,则$\frac{1}{f(x)}$为无穷大

• 证:以$x\to x_0$为例($x\to \infty$类似)

  • 设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$,则$\forall M>0$,$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,有$|f(x)|>M$

  • 则$|\frac{1}{f(x)}|<\frac{1}{M}$,令$ϵ=\frac{1}{M}$,因为$M$可以取任何正数,所以$ϵ$也可取任何值,且总有$|\frac{1}{f(x)}|<ϵ$,从而$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0$

  • 隐去细节的紧凑版本:$\forall ϵ>0$,对于$M=\frac{1}{ϵ}$,$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,$|f(x)|>M=\frac{1}{ϵ}$,即$|\frac{1}{f(x)}|<ϵ$,所以$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0$

  • 反之,设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$,且$f(x)\ne 0$

    • $\forall M>0$,根据无穷小的定义,对于$ϵ=\frac{1}{M}$,$\exists \delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$,$|f(x)|<ϵ=\frac{1}{M}$
    • 由于当$0<|x-x_0|<\delta$时$f(x)\ne 0$,从而$|\frac{1}{f(x)}|>M$
    • 所以$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\infty$

无穷小@无穷大的运算法则

• 参见极限的运算法则